Courbes paramétrées et polaires : exercices corrigés

Ces exercices sur les courbes paramétrées et polaires portent sur les pentes, les tangentes, les dérivées secondes et la longueur d'arc des courbes paramétrées, puis sur les changements de coordonnées, les pentes et les aires en coordonnées polaires. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses viennent en premier, puis les solutions complètes.

Les formules clés :

Exercices

Courbes paramétrées

1. Pour x = t^2, y = t^3, calculez \frac{dy}{dx} et sa valeur en t = 2.
2. Déterminez la tangente à la courbe de l'exercice 1 en t = 2.
3. Éliminez le paramètre : x = 2\cos t, y = 3\sin t.
4. Pour x = t^2, y = t^3, calculez \frac{d^2y}{dx^2}.
5. Déterminez les points où x = t^2 - 1, y = t^3 - 3t a une tangente horizontale.
6. Calculez la longueur d'arc de x = t^2, y = \frac{2}{3}t^3 pour 0 \le t \le 1.

Coordonnées polaires

7. Convertissez le point polaire (r, \theta) = \left(4, \frac{\pi}{3}\right) en coordonnées cartésiennes.
8. Convertissez r = 4\sin\theta en équation cartésienne et décrivez la courbe.
9. Calculez la pente \frac{dy}{dx} de r = 1 + \cos\theta en \theta = \frac{\pi}{2}.

Aires en coordonnées polaires

10. Calculez l'aire intérieure à r = 2\cos\theta.
11. Calculez l'aire d'un pétale de r = \cos(2\theta).
12. Calculez l'aire intérieure à la cardioïde r = 1 + \cos\theta.

Réponses

Solutions détaillées

1. \frac{dx}{dt} = 2t et \frac{dy}{dt} = 3t^2 :

2. En t = 2, le point est (4, 8) et la pente vaut 3 : y - 8 = 3(x - 4), donc y = 3x - 4.

3. \cos t = \frac{x}{2} et \sin t = \frac{y}{3}. Utilisez \cos^2 t + \sin^2 t = 1 :

C'est une ellipse.

4. Dérivez \frac{dy}{dx} = \frac{3t}{2} par rapport à t pour obtenir \frac{3}{2}, puis divisez par \frac{dx}{dt} = 2t :

5. \frac{dy}{dt} = 3t^2 - 3 = 0 en t = \pm 1, et \frac{dx}{dt} = 2t \neq 0 en ces valeurs. En t = 1 : (0, -2). En t = -1 : (0, 2).

6. \frac{dx}{dt} = 2t et \frac{dy}{dt} = 2t^2, donc la vitesse vaut \sqrt{4t^2 + 4t^4} = 2t\sqrt{1 + t^2} pour t \ge 0. Avec u = 1 + t^2 :

7. x = 4\cos\frac{\pi}{3} = 2 et y = 4\sin\frac{\pi}{3} = 2\sqrt{3}.

8. Multipliez les deux membres par r : r^2 = 4r\sin\theta, donc x^2 + y^2 = 4y. Complétez le carré :

C'est un cercle de rayon 2 et de centre (0, 2).

9. Utilisez x = r\cos\theta, y = r\sin\theta avec r' = -\sin\theta. En \theta = \frac{\pi}{2} : r = 1 et r' = -1.

Donc \frac{dy}{dx} = \frac{-1}{-1} = 1.

10. Le cercle est parcouru une fois pour -\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2} :

Cela correspond bien à un cercle de rayon 1.

11. Un pétale va de \theta = -\frac{\pi}{4} à \frac{\pi}{4}, où \cos 2\theta \ge 0. Utilisez \cos^2 2\theta = \frac{1 + \cos 4\theta}{2} :

12. Développez (1 + \cos\theta)^2 = 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta. Sur [0, 2\pi], les intégrales de ces termes valent 2\pi, 0 et \pi :

Erreurs fréquentes sur ces exercices

• Diviser les dérivées secondes. Dans l'exercice 4, \frac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2} = \frac{6t}{2} = 3t est faux.
• Prendre \frac{dr}{d\theta} pour la pente. Dans l'exercice 9, r' = -1 mais la pente de la courbe vaut 1.
• Des bornes qui parcourent la courbe deux fois. r = 2\cos\theta sur [0, 2\pi] fait deux fois le tour et donne 2\pi.
• Oublier le \frac{1}{2}. L'aire en polaire vaut \frac{1}{2}\int r^2\,d\theta, et non \int r\,d\theta.

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