Dérivée d'un produit et d'un quotient : exercices corrigés

Ces exercices sur les règles du produit et du quotient commencent par des produits de deux facteurs, passent aux quotients, et se terminent par un produit de trois facteurs, un produit dans un quotient et un exercice à partir d'un tableau de valeurs. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses suivent la liste, puis viennent les solutions complètes.

Les deux règles :

Pour un rappel, consultez les pages sur la règle du produit et la règle du quotient, ou le guide des règles du produit et du quotient.

Exercices

Règle du produit

1. y = x^2 e^x
2. y = (x^2 + 1)(3x - 2)
3. y = \sqrt{x}\,\ln x
4. y = e^x\cos x

Règle du quotient

5. y = \dfrac{x}{x + 1}
6. y = \dfrac{2x - 1}{x^2 + 3}
7. y = \dfrac{\sin x}{x}
8. y = \dfrac{\ln x}{x}
9. y = \dfrac{e^x}{x^2}

Les deux ensemble

10. y = x\,e^x\sin x
11. y = \dfrac{x^2 e^x}{x + 1}
12. Sachant que f(2) = 3, f'(2) = -1, g(2) = 4 et g'(2) = 5, calculez (fg)'(2) et \left(\dfrac{f}{g}\right)'(2).

Réponses

Solutions détaillées

1. Posons f = x^2 et g = e^x, donc f' = 2x et g' = e^x :

2. Posons f = x^2 + 1 et g = 3x - 2 :

Vous pouvez vérifier en développant d'abord : y = 3x^3 - 2x^2 + 3x - 2 donne la même dérivée.

3. Posons f = \sqrt{x} et g = \ln x, donc f' = \frac{1}{2\sqrt{x}} et g' = \frac{1}{x} :

Ici \frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{2}{2\sqrt{x}}.

4. La dérivée de \cos x est -\sin x :

5. Numérateur x, dénominateur x + 1, et les deux dérivées valent 1 :

6. Dérivée du numérateur 2, dérivée du dénominateur 2x :

7. Dérivée du numérateur \cos x, dérivée du dénominateur 1 :

8. Dérivée du numérateur \frac{1}{x}, dérivée du dénominateur 1 :

9. Dérivée du numérateur e^x, dérivée du dénominateur 2x :

10. Trois facteurs, donc trois termes. Dérivez x, puis e^x, puis \sin x, un à la fois :

11. Le numérateur est un produit. D'après l'exercice 1, sa dérivée est (x^2 + 2x)e^x. Utilisez ensuite la règle du quotient :

Factorisez e^x au numérateur et développez : (x^2 + 2x)(x + 1) - x^2 = x^3 + 2x^2 + 2x = x(x^2 + 2x + 2). Donc

12. Remplacez les valeurs dans chaque règle :

Erreurs fréquentes sur ces exercices

• Multiplier les dérivées. (x^2e^x)' \ne 2x\cdot e^x. La règle du produit donne toujours deux termes.
• Soustraire dans le mauvais ordre. Dans l'exercice 6, écrire (2x - 1)(2x) - 2(x^2 + 3) au numérateur donne la bonne valeur absolue mais le mauvais signe.
• Oublier de mettre le dénominateur au carré. Le dénominateur de la règle du quotient est g^2, et non g.
• Développer quand factoriser est plus simple. Dans l'exercice 9, factorisez xe^x au numérateur pour pouvoir simplifier par x.

Continuer à s'entraîner

Ces 12 exercices utilisent des nombres fixes. Pour un entraînement illimité avec de nouvelles fonctions et une correction immédiate, essayez la leçon sur la règle du produit et la leçon sur la règle du quotient. Quand les facteurs contiennent eux-mêmes une fonction intérieure, comme x^2\sin(3x), passez aux exercices sur la dérivation en chaîne.