Dérivées trigonométriques : exercices corrigés avec solutions

Ces exercices sur les dérivées des fonctions trigonométriques commencent par les six dérivées de base, ajoutent les règles du produit et du quotient, puis la dérivation en chaîne, et se terminent par une dérivée seconde et une tangente. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses suivent la liste, puis viennent les solutions détaillées.

Les six dérivées à connaître (sec, csc et cot désignent 1/cos, 1/sin et 1/tan) :

Chacune a sa propre page avec une démonstration, par exemple la dérivée de tan x et la dérivée de sec x. Pour une vue d'ensemble, lisez le guide des dérivées trigonométriques.

Exercices

Dérivées de base

1. y = 3\sin x - 2\cos x
2. y = \tan x + \sec x
3. y = 4\csc x - \cot x

Règles du produit et du quotient

4. y = x^2\cos x
5. y = \sin x\cos x
6. y = \dfrac{\sin x}{1 + \cos x}

Dérivation en chaîne

7. y = \sin(5x)
8. y = \cos(x^2)
9. y = \tan^3 x
10. y = \sec(3x)

Dérivées secondes et tangentes

11. Calculez y'' pour y = \sin(2x).
12. Trouvez la tangente à y = \tan x en x = \frac{\pi}{4}.

Réponses

Solutions détaillées

1. Dérivez chaque terme. Le signe moins de (\cos x)' = -\sin x se combine avec le -2 :

2. Utilisez directement les deux dérivées du tableau :

3. \csc x et \cot x ont toutes deux des dérivées négatives :

4. Utilisez la règle du produit avec f = x^2 et g = \cos x :

5. Encore la règle du produit :

D'après la formule de duplication, cela vaut \cos(2x). Vous pouvez le vérifier autrement : \sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin(2x), dont la dérivée est \cos(2x).

6. Utilisez la règle du quotient. La dérivée du dénominateur est -\sin x :

Comme \cos^2 x + \sin^2 x = 1, le numérateur vaut 1 + \cos x, et un facteur se simplifie :

7. L'intérieur est 5x, de dérivée 5 :

8. L'intérieur est x^2, de dérivée 2x :

9. Écrivez y = (\tan x)^3. L'extérieur est un cube et l'intérieur est \tan x :

10. L'extérieur est \sec u, de dérivée \sec u\tan u, avec u = 3x :

11. Dérivez deux fois, avec la dérivation en chaîne à chaque fois :

12. Le point a pour ordonnée \tan\frac{\pi}{4} = 1. La pente est \sec^2\frac{\pi}{4} = \left(\sqrt{2}\right)^2 = 2 :

Erreurs fréquentes sur ces exercices

• Oublier le signe moins. Les dérivées de \cos x, \cot x et \csc x sont toutes négatives. L'exercice 3 en contient deux.
• Confondre \sec^2 x et \sec(x^2). \sec^2 x signifie (\sec x)^2. Ce sont des fonctions très différentes.
• Oublier la dérivée intérieure. \sin(5x) a pour dérivée 5\cos(5x), pas \cos(5x).
• Travailler en degrés. Dans l'exercice 12, l'angle vaut \frac{\pi}{4} radian. Utiliser 45 dans l'équation de la tangente serait faux.

Continuer à s'entraîner

Ces 12 exercices utilisent des valeurs fixes. Pour un entraînement illimité avec de nouvelles fonctions et une correction immédiate, essayez la leçon sur les dérivées trigonométriques, puis la leçon sur la dérivation en chaîne avec la trigonométrie. Pour les fonctions réciproques, comme \arcsin x et \arctan x, passez aux exercices sur les dérivées des fonctions trigonométriques réciproques.