Fonction exponentielle eˣ : courbe, dérivée, primitive et nombre e

La fonction exponentielle f(x) = e^x, notée aussi exp, est la fonction exponentielle dont la base est le nombre d'Euler e \approx 2.71828. C'est la fonction la plus importante de l'analyse, car elle est sa propre dérivée : la vitesse à laquelle e^x croît est toujours égale à sa valeur actuelle.

Formule et nombre e

Toute fonction exponentielle b^x a en x = 0 une pente proportionnelle à sa hauteur. La base e est l'unique choix qui rend la pente en x = 0 exactement égale à 1, et c'est pourquoi les dérivées de e^x sont si simples.

Courbe de eˣ

Propriétés principales

• Domaine de définition : tous les réels ; ensemble image : (0, \infty). e^x est toujours strictement positive.
• Toujours croissante et toujours convexe, puisque f'(x) = f''(x) = e^x > 0.
• Asymptote horizontale y = 0 : \lim_{x \to -\infty}e^x = 0, tandis que \lim_{x \to \infty}e^x = \infty.
• Réciproque du logarithme népérien : e^{\ln x} = x pour x > 0 et \ln(e^x) = x pour tout x. Voir le logarithme népérien.
• Règles de calcul sur les exposants : e^{a+b} = e^ae^b, e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}, (e^a)^b = e^{ab}, e^0 = 1.
• Croît plus vite que toute puissance : \lim_{x \to \infty}\frac{x^n}{e^x} = 0 pour tout n (croissances comparées).
• Série entière : e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots, valable pour tout x.

Dérivée de eˣ

Avec la règle de dérivation en chaîne :

L'exposant ne descend jamais devant. Cela, c'est la règle de la puissance, qui ne s'applique pas ici.

Primitive de eˣ

Exemples corrigés

Exemple 1. \frac{d}{dx}e^{3x} = 3e^{3x}.

Exemple 2 : dérivation en chaîne. \frac{d}{dx}e^{x^2} = 2x\,e^{x^2}.

Exemple 3 : règle du produit. \frac{d}{dx}\left(x e^x\right) = e^x + xe^x = (1 + x)e^x.

Exemple 4 : intégrale définie. \int_0^{\ln 2}e^x\,dx = e^{\ln 2} - e^0 = 2 - 1 = 1.

Exemple 5 : changement de variable. Avec u = x^2, \int 2x\,e^{x^2}\,dx = e^{x^2} + C.

Exemple 6 : croissance exponentielle. La solution de y' = ky vérifiant y(0) = y_0 est y = y_0e^{kt}. C'est pourquoi e apparaît dans la croissance des populations, la désintégration radioactive et les intérêts composés en continu.

Erreurs fréquentes

1. Utiliser la règle de la puissance. \frac{d}{dx}e^x \ne xe^{x-1}.
2. Oublier le facteur de la dérivation en chaîne. \frac{d}{dx}e^{5x} = 5e^{5x}, et non e^{5x}.
3. Intégrer e^{kx} sans diviser par k. \int e^{4x}\,dx = \frac{1}{4}e^{4x} + C.
4. Traiter e^2 comme une variable. e^2 est une constante, donc sa dérivée est 0.
5. Écrire e^{a+b} = e^a + e^b. Les exposants s'additionnent lorsqu'on multiplie : e^{a+b} = e^ae^b.

Liens avec le reste du programme

e^x est la réciproque de \ln x et la brique de base des fonctions hyperboliques. Toute exponentielle peut se réécrire en base e : b^x = e^{x\ln b}. Pour un guide complet avec davantage d'exercices, lisez le guide sur les dérivées des fonctions exponentielles et logarithmes, et consultez les séries de Taylor pour son développement en série.