Fonctions hyperboliques sh, ch, th : courbes, dérivées et primitives

Les fonctions hyperboliques \sinh x, \cosh x et \tanh x (notées sh, ch et th en France) sont des combinaisons de e^x et e^{-x} qui se comportent de façon remarquablement semblable aux fonctions trigonométriques. Elles partagent presque les mêmes identités et règles de dérivation, à quelques changements de signe près, et elles décrivent des formes réelles comme celle d'un câble suspendu.

Définitions

En additionnant les deux premières, on obtient \cosh x + \sinh x = e^x : elles décomposent donc la fonction exponentielle en une partie paire (\cosh) et une partie impaire (\sinh). Leurs inverses se définissent comme pour leurs cousines trigonométriques : \operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x}, \operatorname{csch} x = \frac{1}{\sinh x} et \coth x = \frac{1}{\tanh x}.

Courbes de sh, ch et th

\tanh x admet les asymptotes horizontales y = 1 et y = -1, puisque \tanh x \to 1 quand x \to \infty et \tanh x \to -1 quand x \to -\infty.

Identités hyperboliques

L'identité centrale découle directement des définitions :

Comparez-la avec \cos^2 x + \sin^2 x = 1. Autres identités utiles :

• 1 - \tanh^2 x = \operatorname{sech}^2 x
• \sinh(2x) = 2\sinh x\cosh x
• \cosh(2x) = \cosh^2 x + \sinh^2 x

Dérivées des fonctions hyperboliques

Chacune découle de \frac{d}{dx}e^{-x} = -e^{-x}. Par exemple,

Pour \tanh x, la règle du quotient donne \frac{\cosh^2 x - \sinh^2 x}{\cosh^2 x} = \frac{1}{\cosh^2 x} = \operatorname{sech}^2 x.

Primitives des fonctions hyperboliques

La primitive de \tanh s'obtient avec u = \cosh x : \int\frac{\sinh x}{\cosh x}\,dx = \ln|\cosh x| + C, et on peut supprimer la valeur absolue car \cosh x \ge 1.

Exemples corrigés

Exemple 1 : dérivation en chaîne. \frac{d}{dx}\cosh(x^2) = 2x\sinh(x^2).

Exemple 2 : calcul d'une valeur. Calculons \cosh(\ln 2). Comme e^{\ln 2} = 2 et e^{-\ln 2} = \frac{1}{2},

Exemple 3 : une intégrale définie. \int_0^{1}\cosh x\,dx = \sinh 1 - \sinh 0 = \frac{e - e^{-1}}{2} \approx 1.175.

Exemple 4 : changement de variable. \int\sinh(3x)\,dx = \frac{1}{3}\cosh(3x) + C.

Erreurs fréquentes

1. Recopier le signe moins de la trigonométrie. \frac{d}{dx}\cosh x = \sinh x, et non -\sinh x.
2. Utiliser l'identité trigonométrique. C'est \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1, avec un signe moins.
3. S'attendre à une périodicité. Les fonctions hyperboliques ne se répètent jamais. \sinh et \cosh croissent comme \frac{e^x}{2} pour x grand.
4. Confondre \sinh x et \sin x. Ce sont des fonctions différentes ; \sinh 0 = 0 comme \sin 0, mais \sinh x n'est pas bornée.

Où rencontre-t-on les fonctions hyperboliques ?

Un câble suspendu prend la forme d'une chaînette, y = a\cosh\frac{x}{a}, et sa longueur se calcule facilement car 1 + \sinh^2 x = \cosh^2 x. Le changement de variable x = \sinh t est une alternative au changement de variable trigonométrique pour les intégrales contenant \sqrt{1 + x^2}. Les fonctions hyperboliques ont aussi des séries de Taylor très simples : \sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots, la série du sinus avec tous les signes positifs. Pour revoir les dérivées des exponentielles sur lesquelles tout cela repose, consultez dérivées des fonctions exponentielles et logarithmes.