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Puissances, racines et fonctions rationnelles

Intégrale de x : formule, démonstration et exemples

L'intégrale de x vaut x²/2 + C. Pourquoi, avec la règle de la puissance inverse et un triangle, plus les intégrales définies, la forme ax + b et les erreurs.

Puissances, racines et fonctions rationnelles Mis à jour Lecture : 3 min

En bref

\int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C
Primitive
\dfrac{x^2}{2} + C
Règle utilisée
Règle de la puissance inverse avec n = 1
Forme définie
\int_0^b x\,dx = \dfrac{b^2}{2}
Intervalle symétrique
\int_{-a}^{a} x\,dx = 0
Vérification
\dfrac{d}{dx}\dfrac{x^2}{2} = x
Sur cette page
  1. Graphique de y = x et de sa primitive
  2. Démonstration pas à pas
  3. Vérification par dérivation
  4. Intégrales définies
  5. La version affine : intégrale de ax + b
  6. Exemples corrigés
  7. Erreurs fréquentes

L'intégrale de x est \dfrac{x^2}{2} + C. Elle découle directement de la règle de la puissance inverse : on ajoute un à l'exposant, puis on divise par le nouvel exposant.

\int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C

Graphique de y = x et de sa primitive

Aire sous y = x de 0 à 2, avec la primitive y = x²/2
Le triangle hachuré a une base de 2 et une hauteur de 2, donc son aire vaut 2. La courbe en pointillés y = \frac{x^2}{2} atteint exactement 2 en x = 2.

La primitive \frac{x^2}{2} est une parabole. Sa pente en chaque point est égale à la hauteur de la droite y = x : pente 0 à l'origine, pente 2 en x = 2, et pentes négatives pour x négatif.

Démonstration pas à pas

  1. Écrire x comme une puissance : x = x^1.
  2. Appliquer la règle de la puissance inverse, \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, avec n = 1.
  3. Ajouter un à l'exposant : x^{2}.
  4. Diviser par le nouvel exposant : \frac{x^2}{2}.
  5. Ajouter la constante : \frac{x^2}{2} + C.

Il existe aussi une preuve par le dessin. La région sous y = x de 0 à b est un triangle rectangle de base b et de hauteur b, donc son aire vaut \frac{1}{2}b\cdot b = \frac{b^2}{2}. La fonction aire est \frac{x^2}{2}, et c'est exactement la primitive.

Vérification par dérivation

\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{2} + C\right) = \frac{2x}{2} + 0 = x \checkmark

Le sens direct est traité sur la page dérivée de x.

Intégrales définies

\int_a^b x\,dx = \frac{b^2}{2} - \frac{a^2}{2} = \frac{b^2 - a^2}{2}

Par exemple, \int_1^3 x\,dx = \frac{9 - 1}{2} = 4. Cette région est un trapèze de côtés parallèles 1 et 3 et de largeur 2, d'aire \frac{1 + 3}{2}\cdot 2 = 4. Même résultat.

Quand l'intervalle contient 0, l'aire sous l'axe compte négativement : \int_{-1}^{1} x\,dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0.

La version affine : intégrale de ax + b

Pour une fonction affine ax + b, on peut intégrer terme à terme :

\int (ax + b)\,dx = \frac{ax^2}{2} + bx + C

Avec un changement de variable u = ax + b, on obtient une deuxième forme :

\int (ax + b)\,dx = \frac{(ax + b)^2}{2a} + C

Les deux sont correctes. En développant la seconde, on obtient \frac{ax^2}{2} + bx + \frac{b^2}{2a}, qui ne diffère de la première que par la constante \frac{b^2}{2a}.

Exemples corrigés

Exemple 1. \int 6x\,dx = 6\cdot\frac{x^2}{2} + C = 3x^2 + C.

Exemple 2. \int (4x - 5)\,dx = 2x^2 - 5x + C. Le -5 utilise l'intégrale d'une constante.

Exemple 3. \int_0^4 \frac{x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{16}{2} = 4.

Exemple 4 : valeur moyenne. La moyenne de f(x) = x sur [0, 6] vaut \frac{1}{6}\int_0^6 x\,dx = \frac{1}{6}\cdot 18 = 3, le milieu de l'intervalle, comme on s'y attend pour une droite.

Erreurs fréquentes

  1. Écrire x^2 + C. Il faut diviser par le nouvel exposant. La dérivée de x^2 est 2x, pas x.
  2. Trouver 1. C'est la dérivée de x, pas son intégrale.
  3. Oublier le + C dans une intégrale indéfinie.
  4. S'attendre à une aire toujours positive. Une intégrale définie donne une aire algébrique. Utilisez \int\lvert x\rvert\,dx pour l'aire totale ; voir l'intégrale de |x|.

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Questions fréquentes

Quelle est l'intégrale de x ?
L'intégrale de x est \frac{x^2}{2} + C. Vérification : la dérivée de \frac{x^2}{2} est \frac{2x}{2} = x.

Quelle est l'intégrale de 2x ?
C'est x^2 + C. On sort le 2 : 2\cdot\frac{x^2}{2} = x^2.

Combien vaut l'intégrale de x entre 0 et 1 ?
Elle vaut \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2}. C'est l'aire d'un triangle rectangle de côtés 1 et 1.

Pourquoi l'intégrale de x entre -1 et 1 est-elle nulle ?
Parce que y = x est une fonction impaire. Le triangle sous l'axe sur [-1, 0] a une aire algébrique de -\frac{1}{2} et compense le triangle au-dessus de l'axe sur [0, 1].

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