Intégrale de x : formule, démonstration et exemples

L'intégrale de x est \dfrac{x^2}{2} + C. Elle découle directement de la règle de la puissance inverse : on ajoute un à l'exposant, puis on divise par le nouvel exposant.

Graphique de y = x et de sa primitive

La primitive \frac{x^2}{2} est une parabole. Sa pente en chaque point est égale à la hauteur de la droite y = x : pente 0 à l'origine, pente 2 en x = 2, et pentes négatives pour x négatif.

Démonstration pas à pas

1. Écrire x comme une puissance : x = x^1.
2. Appliquer la règle de la puissance inverse, \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, avec n = 1.
3. Ajouter un à l'exposant : x^{2}.
4. Diviser par le nouvel exposant : \frac{x^2}{2}.
5. Ajouter la constante : \frac{x^2}{2} + C.

Il existe aussi une preuve par le dessin. La région sous y = x de 0 à b est un triangle rectangle de base b et de hauteur b, donc son aire vaut \frac{1}{2}b\cdot b = \frac{b^2}{2}. La fonction aire est \frac{x^2}{2}, et c'est exactement la primitive.

Vérification par dérivation

Le sens direct est traité sur la page dérivée de x.

Intégrales définies

Par exemple, \int_1^3 x\,dx = \frac{9 - 1}{2} = 4. Cette région est un trapèze de côtés parallèles 1 et 3 et de largeur 2, d'aire \frac{1 + 3}{2}\cdot 2 = 4. Même résultat.

Quand l'intervalle contient 0, l'aire sous l'axe compte négativement : \int_{-1}^{1} x\,dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0.

La version affine : intégrale de ax + b

Pour une fonction affine ax + b, on peut intégrer terme à terme :

Avec un changement de variable u = ax + b, on obtient une deuxième forme :

Les deux sont correctes. En développant la seconde, on obtient \frac{ax^2}{2} + bx + \frac{b^2}{2a}, qui ne diffère de la première que par la constante \frac{b^2}{2a}.

Exemples corrigés

Exemple 1. \int 6x\,dx = 6\cdot\frac{x^2}{2} + C = 3x^2 + C.

Exemple 2. \int (4x - 5)\,dx = 2x^2 - 5x + C. Le -5 utilise l'intégrale d'une constante.

Exemple 3. \int_0^4 \frac{x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{16}{2} = 4.

Exemple 4 : valeur moyenne. La moyenne de f(x) = x sur [0, 6] vaut \frac{1}{6}\int_0^6 x\,dx = \frac{1}{6}\cdot 18 = 3, le milieu de l'intervalle, comme on s'y attend pour une droite.

Erreurs fréquentes

1. Écrire x^2 + C. Il faut diviser par le nouvel exposant. La dérivée de x^2 est 2x, pas x.
2. Trouver 1. C'est la dérivée de x, pas son intégrale.
3. Oublier le + C dans une intégrale indéfinie.
4. S'attendre à une aire toujours positive. Une intégrale définie donne une aire algébrique. Utilisez \int\lvert x\rvert\,dx pour l'aire totale ; voir l'intégrale de |x|.

Continuez avec l'intégrale de x², ou entraînez-vous avec les exercices sur les primitives.