Integral von x: Formel, Herleitung und Beispiele

Das Integral von x ist \dfrac{x^2}{2} + C. Es folgt direkt aus der Potenzregel für Integrale: Erhöhe den Exponenten um eins und teile dann durch den neuen Exponenten.

Graph von y = x und seiner Stammfunktion

Die Stammfunktion \frac{x^2}{2} ist eine Parabel. Ihre Steigung in jedem Punkt ist gleich der Höhe der Geraden y = x: Steigung 0 im Ursprung, Steigung 2 bei x = 2 und negative Steigungen für negative x.

Herleitung Schritt für Schritt

1. Schreibe x als Potenz: x = x^1.
2. Wende die Potenzregel für Integrale, \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, mit n = 1 an.
3. Erhöhe den Exponenten um eins: x^{2}.
4. Teile durch den neuen Exponenten: \frac{x^2}{2}.
5. Ergänze die Konstante: \frac{x^2}{2} + C.

Es gibt auch einen Beweis mit einem Bild. Die Fläche unter y = x von 0 bis b ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Grundseite b und der Höhe b, ihr Flächeninhalt ist also \frac{1}{2}b\cdot b = \frac{b^2}{2}. Die Flächenfunktion ist \frac{x^2}{2}, und das ist genau die Stammfunktion.

Probe durch Ableiten

Die andere Richtung findest du auf der Seite zur Ableitung von x.

Bestimmte Integrale

Zum Beispiel ist \int_1^3 x\,dx = \frac{9 - 1}{2} = 4. Diese Fläche ist ein Trapez mit den parallelen Seiten 1 und 3 und der Breite 2, sein Flächeninhalt ist \frac{1 + 3}{2}\cdot 2 = 4. Dasselbe Ergebnis.

Wenn das Intervall die 0 überschreitet, zählt die Fläche unter der Achse negativ: \int_{-1}^{1} x\,dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0.

Die lineare Variante: Integral von ax + b

Eine lineare Funktion ax + b kannst du summandenweise integrieren:

Mit der Substitutionsregel, u = ax + b, erhältst du eine zweite Form:

Beide sind richtig. Ausmultipliziert ergibt die zweite \frac{ax^2}{2} + bx + \frac{b^2}{2a}, was sich von der ersten nur um die Konstante \frac{b^2}{2a} unterscheidet.

Rechenbeispiele

Beispiel 1. \int 6x\,dx = 6\cdot\frac{x^2}{2} + C = 3x^2 + C.

Beispiel 2. \int (4x - 5)\,dx = 2x^2 - 5x + C. Für die -5 brauchst du das Integral einer Konstanten.

Beispiel 3. \int_0^4 \frac{x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{16}{2} = 4.

Beispiel 4: Mittelwert. Der Mittelwert von f(x) = x auf [0, 6] ist \frac{1}{6}\int_0^6 x\,dx = \frac{1}{6}\cdot 18 = 3, also die Intervallmitte, wie man es bei einer Geraden erwartet.

Häufige Fehler

1. x^2 + C schreiben. Du musst durch den neuen Exponenten teilen. Die Ableitung von x^2 ist 2x, nicht x.
2. 1 herausbekommen. Das ist die Ableitung von x, nicht das Integral.
3. + C weglassen bei einem unbestimmten Integral.
4. Erwarten, dass die Fläche positiv ist. Ein bestimmtes Integral liefert eine orientierte Fläche. Für die Gesamtfläche nimmst du \int\lvert x\rvert\,dx, siehe Integral von |x|.

Mach weiter mit dem Integral von x² oder übe mit Aufgaben zu Stammfunktionen.