Integral de x: fórmula, dedução e exemplos

A integral de x é \dfrac{x^2}{2} + C. Ela sai direto da regra da potência inversa: some um ao expoente e depois divida pelo novo expoente.

Gráfico de y = x e de sua primitiva

A primitiva \frac{x^2}{2} é uma parábola. Sua inclinação em cada ponto é igual à altura da reta y = x: inclinação 0 na origem, inclinação 2 em x = 2 e inclinações negativas para x negativo.

Dedução, passo a passo

1. Escreva x como potência: x = x^1.
2. Aplique a regra da potência inversa, \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, com n = 1.
3. Some um ao expoente: x^{2}.
4. Divida pelo novo expoente: \frac{x^2}{2}.
5. Some a constante: \frac{x^2}{2} + C.

Também existe uma prova visual. A região sob y = x de 0 a b é um triângulo retângulo de base b e altura b, então sua área é \frac{1}{2}b\cdot b = \frac{b^2}{2}. A função área é \frac{x^2}{2}, que é exatamente a primitiva.

Verificação por derivação

O sentido direto está na página da derivada de x.

Integrais definidas

Por exemplo, \int_1^3 x\,dx = \frac{9 - 1}{2} = 4. Essa região é um trapézio com lados paralelos 1 e 3 e largura 2, e sua área é \frac{1 + 3}{2}\cdot 2 = 4. Mesma resposta.

Quando o intervalo passa pelo 0, a área abaixo do eixo conta como negativa: \int_{-1}^{1} x\,dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0.

A versão linear: integral de ax + b

Para uma reta ax + b você pode integrar termo a termo:

Com uma substituição (mudança de variável), u = ax + b, você obtém uma segunda forma:

As duas estão corretas. Expandindo a segunda, obtemos \frac{ax^2}{2} + bx + \frac{b^2}{2a}, que difere da primeira só pela constante \frac{b^2}{2a}.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1. \int 6x\,dx = 6\cdot\frac{x^2}{2} + C = 3x^2 + C.

Exemplo 2. \int (4x - 5)\,dx = 2x^2 - 5x + C. O -5 usa a integral de uma constante.

Exemplo 3. \int_0^4 \frac{x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{16}{2} = 4.

Exemplo 4: valor médio. O valor médio de f(x) = x em [0, 6] é \frac{1}{6}\int_0^6 x\,dx = \frac{1}{6}\cdot 18 = 3, o ponto médio, como era de se esperar para uma reta.

Erros comuns

1. Escrever x^2 + C. É preciso dividir pelo novo expoente. A derivada de x^2 é 2x, e não x.
2. Obter 1. Isso é a derivada de x, e não sua integral.
3. Esquecer o + C numa integral indefinida.
4. Esperar que a área seja positiva. Uma integral definida dá a área com sinal. Use \int\lvert x\rvert\,dx se quiser a área total; veja a integral de |x|.

Continue com a integral de x² ou pratique com exercícios de primitivas.