Théorème de Fermat sur les extremums locaux : énoncé et exemples

Le théorème de Fermat (sur les extremums locaux) dit qu'au sommet d'une colline ou au fond d'une vallée d'une courbe régulière, la tangente est horizontale. C'est le théorème qui justifie le geste le plus courant en analyse : pour trouver un maximum ou un minimum, on annule la dérivée.

Énoncé du théorème de Fermat

Supposons que

1. f admet un maximum local ou un minimum local en c, c'est-à-dire f(c) \ge f(x) (ou f(c) \le f(x)) pour tout x d'un intervalle ouvert contenant c, et que
2. f'(c) existe.

Alors

Comme la définition d'un extremum local fait intervenir un intervalle ouvert autour de c, le point c doit être un point intérieur du domaine de définition, et non une borne.

Ce que signifie le théorème de Fermat

En un maximum local, la fonction monte jusqu'à c puis redescend. Juste à droite de c, le taux d'accroissement \frac{f(c + h) - f(c)}{h} est \le 0, et juste à gauche, il est \ge 0. Si la dérivée existe, les deux limites (à gauche et à droite) sont le même nombre, et le seul nombre à la fois \le 0 et \ge 0 est 0.

Pourquoi chaque hypothèse compte, et pourquoi la réciproque est fausse

La dérivée doit exister. f(x) = |x| admet un minimum en x = 0, mais f'(0) n'existe pas à cause du point anguleux. Le théorème de Fermat ne dit rien en ce point. C'est pourquoi les points critiques incluent les points où f' n'est pas définie.

Le point doit être intérieur. Sur [0, 1], f(x) = x atteint son maximum à la borne x = 1, et pourtant f'(1) = 1 \ne 0. Les extremums aux bornes ne sont pas couverts par le théorème : la méthode du segment examine donc les bornes à part.

La réciproque est fausse. f(x) = x^3 vérifie f'(0) = 0, mais x^3 est négative à gauche de 0 et positive à droite, donc 0 n'est pas un extremum local. Une tangente horizontale fait de c un candidat, rien de plus. Il faut encore le test de la dérivée première ou de la dérivée seconde.

Points critiques

Le théorème de Fermat justifie la définition suivante : un point critique de f est un réel c de son domaine de définition tel que f'(c) = 0 ou que f'(c) n'existe pas. Autrement dit, tout extremum local de f est atteint en un point critique.

Exemples corrigés

Exemple 1 : f(x) = x^4 - 4x^3.

Étape 1. f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3).

Étape 2. Points critiques : x = 0 et x = 3. D'après le théorème de Fermat, ce sont les seuls extremums locaux possibles.

Étape 3. On les classe. f'(x) < 0 pour x < 0 et pour 0 < x < 3, et f'(x) > 0 pour x > 3. La fonction reste décroissante en traversant x = 0, donc x = 0 n'est pas un extremum, exactement comme pour x^3. En x = 3, elle passe de décroissante à croissante, donc f(3) = 81 - 108 = -27 est un minimum local.

Exemple 2 : un point critique où f' n'existe pas. Pour f(x) = x^{2/3},

qui ne vaut jamais 0 et n'est pas définie en x = 0. Donc x = 0 est le seul point critique, et comme f(x) \ge 0 = f(0) pour tout x, c'est un minimum. Se contenter de résoudre f'(x) = 0 le ferait manquer.

Exemple 3 : optimisation. Deux nombres ont pour somme 10. On veut maximiser leur produit P(x) = x(10 - x). Comme le maximum est atteint en un point intérieur et que P est dérivable, le théorème de Fermat donne P'(x) = 10 - 2x = 0, donc x = 5 et le produit maximal vaut 25. Pour aller plus loin, consultez les problèmes d'optimisation.

Erreurs fréquentes

1. Croire que f'(c) = 0 implique un extremum. Classez toujours les points critiques à l'aide d'un tableau de signes ou de la dérivée seconde.
2. Ignorer les points où f' n'est pas définie. Les points anguleux et les points de rebroussement sont aussi des points critiques.
3. Oublier les bornes. Sur un intervalle fermé, les extremums peuvent se trouver aux bornes, où le théorème de Fermat ne s'applique pas.

Théorèmes associés

Le théorème de Fermat, combiné au théorème des bornes atteintes, donne la méthode du segment, et c'est l'étape clé de la démonstration du théorème de Rolle, puis du théorème des accroissements finis. Pour classer les points critiques et tracer des courbes, lisez l'étude de fonctions à l'aide des dérivées.