Integral von 1/(x ln x): Formel, Rechenweg und Beispiele

Das Integral von \dfrac{1}{x\ln x} ist \ln\lvert\ln x\rvert + C. Es ist ein Lehrbuchbeispiel für eine Substitution, die sich direkt vor deinen Augen versteckt: Das \frac{1}{x} ist die Ableitung des \ln x daneben.

Der Integrand ist für x > 0 mit x \ne 1 definiert, da \ln 1 = 0 den Nenner null machen würde.

Graph von 1/(x ln x)

1/(x ln x) Schritt für Schritt integrieren

1. Das Paar erkennen. Schreibe den Integranden als \frac{1}{\ln x}\cdot\frac{1}{x}. Der zweite Faktor ist die Ableitung von \ln x.
2. Substituieren. Setze u = \ln x, also du = \frac{1}{x}\,dx: \int\frac{1}{\ln x}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \int\frac{1}{u}\,du
3. Integrieren. \int\frac{du}{u} = \ln\lvert u\rvert + C, nach dem Integral von 1/x.
4. Rücksubstituieren. \ln\lvert\ln x\rvert + C.

Der Betrag ist auf 0 < x < 1 wichtig, wo \ln x negativ ist. Für x > 1 kannst du ihn weglassen und \ln(\ln x) schreiben.

Hier arbeitet die Substitutionsregel. Immer wenn du \frac{1}{x} mal einer Funktion von \ln x siehst, probiere u = \ln x.

Probe durch Ableiten

Verwende zweimal die Kettenregel:

Bestimmte und uneigentliche Integrale

Von e bis e²: \ln(\ln e^2) - \ln(\ln e) = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2.

Von e bis e^e: \ln(e) - \ln(1) = 1. Jeder Schritt der Form [e^{a}, e^{ea}] fügt dieselbe Fläche hinzu, nämlich 1.

Von 2 bis ∞: Dieses uneigentliche Integral divergiert.

Das Wachstum ist quälend langsam. Selbst bei b = 10^{100} ist \ln(\ln b) \approx \ln 230.3 \approx 5.44. Ein Taschenrechner würde dich nie von der Divergenz überzeugen, die Stammfunktion beweist sie aber.

Das Integralkriterium. Weil dieses Integral divergiert, folgt aus dem Integralkriterium, dass auch die Reihe \sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n\ln n} divergiert, obwohl ihre Glieder schneller klein werden als \frac{1}{n}.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: ein quadrierter Logarithmus. \displaystyle\int_2^\infty\frac{dx}{x(\ln x)^2}. Mit u = \ln x ist die Stammfunktion -\frac{1}{\ln x}:

Dieses Integral konvergiert. Eine zusätzliche Potenz von \ln x reicht schon.

Beispiel 2: der Logarithmus im Zähler. \displaystyle\int\frac{\ln x}{x}\,dx = \int u\,du = \frac{(\ln x)^2}{2} + C.

Beispiel 3: eine Potenz des Logarithmus. \displaystyle\int\frac{dx}{x\sqrt{\ln x}} = \int u^{-1/2}\,du = 2\sqrt{\ln x} + C, für x > 1.

Beispiel 4: eine Konstante im Argument. \displaystyle\int\frac{dx}{x\ln(5x)}. Auch hier ist \frac{d}{dx}\ln(5x) = \frac{1}{x}, das Ergebnis ist also \ln\lvert\ln(5x)\rvert + C.

Beispiel 5: eine Ebene mehr. \displaystyle\int\frac{dx}{x\ln x\,\ln(\ln x)} = \ln\lvert\ln(\ln x)\rvert + C, mit u = \ln(\ln x).

Häufige Fehler

1. In \frac{1}{x}\cdot\frac{1}{\ln x} zerlegen und jeden Faktor einzeln integrieren. Ein Produkt lässt sich nicht faktorweise integrieren. \ln x\cdot\ln\lvert\ln x\rvert ist falsch.
2. Partielle Integration verwenden. Das ist möglich, führt aber zu nichts Brauchbarem. Mit der Substitution bist du in einer Zeile fertig.
3. \ln\lvert x\ln x\rvert schreiben. Das ist die Stammfunktion von \frac{\ln x + 1}{x\ln x}, nicht von \frac{1}{x\ln x}.
4. Über x = 1 hinweg integrieren. Dort wird der Integrand unbeschränkt, also ist \int_{1/2}^{2}\frac{dx}{x\ln x} kein normales Integral.

Das Integral von ln x und das Integral von x ln x behandeln die anderen häufigen Integrale mit Logarithmus. Mehr zu dieser Art der Substitution findest du im Leitfaden zur Substitution und in den Übungsaufgaben zur Substitution.