Integral von ln x: Formel, Rechenweg und Beispiele

Das Integral von \ln x ist x\ln x - x + C. Keine Umkehrregel macht den Logarithmus direkt rückgängig, deshalb ist die Standardmethode die partielle Integration mit einem versteckten Faktor 1.

Graph von ln x und seiner Stammfunktion

ln x Schritt für Schritt integrieren

Verwende partielle Integration, \int u\,dv = uv - \int v\,du.

1. \ln x als Produkt schreiben. \int\ln x\,dx = \int \ln x\cdot 1\,dx.
2. Die Teile wählen. u = \ln x und dv = dx. Dann ist du = \frac{1}{x}\,dx und v = x.
3. Die Formel anwenden. \int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx
4. Abschließen. \int 1\,dx = x, das Ergebnis ist also x\ln x - x + C.

Warum klappt das? Beim Ableiten wird \ln x zu \frac{1}{x}, und das kürzt das x aus v weg. In der LIATE-Reihenfolge stehen Logarithmen ganz vorne, sie spielen also fast immer die Rolle von u. Mehr zur Wahl von u findest du im Leitfaden zur partiellen Integration.

Probe durch Ableiten

Mit der Produktregel und der Ableitung von ln x:

Bestimmte Integrale

Von 1 bis e:

Von 1 bis 2: (2\ln 2 - 2) - (0 - 1) = 2\ln 2 - 1 \approx 0.386.

Von 0 bis 1: Das ist ein uneigentliches Integral, da \ln x \to -\infty in der Nähe von 0. Mit dem Grenzwert x\ln x \to 0 für x \to 0^+:

Das Ergebnis ist negativ, weil \ln x < 0 auf (0, 1) gilt, die Fläche also unter der Achse liegt.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: eine Konstante im Argument. \int\ln(2x)\,dx. Setze u = 2x, dx = \frac{du}{2}:

Beispiel 2: ein verschobener Logarithmus. \int\ln(x+1)\,dx. Setze u = x + 1, du = dx:

Die -1 lässt sich in C aufnehmen, also ist auch (x+1)\ln(x+1) - x + C richtig.

Beispiel 3: ein quadrierter Logarithmus. \int(\ln x)^2\,dx. Wähle u = (\ln x)^2, dv = dx, also du = \frac{2\ln x}{x}\,dx und v = x:

Beispiel 4: eine Potenz von x im Argument. \int\ln(x^3)\,dx = 3\int\ln x\,dx = 3x\ln x - 3x + C, nach der Logarithmusregel \ln(x^3) = 3\ln x.

Beispiel 5: Basis 10. Wegen \log_{10}x = \frac{\ln x}{\ln 10} gilt \int\log_{10}x\,dx = \frac{x\ln x - x}{\ln 10} + C.

Häufige Fehler

1. \frac{1}{x} angeben. Das ist die Ableitung von \ln x. Das Integral von \frac{1}{x} ist \ln\lvert x\rvert; siehe Integral von 1/x.
2. u = 1, dv = \ln x\,dx wählen. Dann brauchst du \int\ln x\,dx, um v zu bestimmen, also genau das, was du ausrechnen willst.
3. Das -x verlieren. x\ln x allein hat die Ableitung \ln x + 1, eins zu viel.
4. \ln x mit \frac{\ln x}{x} verwechseln. \int\frac{\ln x}{x}\,dx = \frac{(\ln x)^2}{2} + C ist eine Aufgabe für die Substitutionsregel, nicht für partielle Integration.

Für einen Logarithmus mal einer Potenz von x siehe Integral von x ln x. Für Logarithmen im Nenner siehe Integral von 1/(x ln x).