Aufgaben zu uneigentlichen Integralen mit Lösungen

Diese Aufgaben zu uneigentlichen Integralen behandeln unendliche Grenzen, senkrechte Asymptoten am Rand und im Inneren des Intervalls sowie das Vergleichskriterium. Entscheide bei jeder Aufgabe, ob das Integral konvergiert, und bestimme gegebenenfalls seinen Wert. Zuerst kommen die Lösungen, danach die vollständigen Lösungswege.

Die Definition für eine unendliche Grenze:

Bei einer Asymptote an der Stelle x = a verwendest du stattdessen \lim_{t\to a^+}\int_t^{b} f(x)\,dx. Weitere Beispiele findest du im Leitfaden zu uneigentlichen Integralen.

Aufgaben

Unendliche Grenzen

1. \displaystyle\int_1^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx
2. \displaystyle\int_1^{\infty}\frac{1}{x}\,dx
3. \displaystyle\int_1^{\infty}x^{-3/2}\,dx
4. \displaystyle\int_0^{\infty}e^{-2x}\,dx
5. \displaystyle\int_0^{\infty}x\,e^{-x}\,dx
6. \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1 + x^2}\,dx

Senkrechte Asymptoten

7. \displaystyle\int_0^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx
8. \displaystyle\int_0^{1}\frac{1}{x}\,dx
9. \displaystyle\int_0^{1}\ln x\,dx
10. \displaystyle\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}\,dx
11. \displaystyle\int_0^{3}\frac{1}{(x - 1)^{2/3}}\,dx

Vergleich

12. Konvergiert \displaystyle\int_1^{\infty}\frac{2 + \cos x}{x^2}\,dx?

Lösungen

Lösungswege Schritt für Schritt

1. \displaystyle\lim_{b\to\infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_1^{b} = \lim_{b\to\infty}\left(1 - \frac{1}{b}\right) = 1

2. \displaystyle\lim_{b\to\infty}\big[\ln x\big]_1^{b} = \lim_{b\to\infty}\ln b = \infty, das Integral divergiert also.

3. Eine Stammfunktion von x^{-3/2} ist -2x^{-1/2}:

Das ist ein p-Integral mit p = \frac{3}{2} > 1, Konvergenz ist also zu erwarten.

4. \displaystyle\lim_{b\to\infty}\left[-\frac{1}{2}e^{-2x}\right]_0^{b} = \lim_{b\to\infty}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}e^{-2b}\right) = \frac{1}{2}

5. Mit partieller Integration ist \int x\,e^{-x}\,dx = -(x + 1)e^{-x}. Dann gilt:

Der Term (b + 1)e^{-b} \to 0, weil die Exponentialfunktion viel schneller wächst als b + 1 (zur Kontrolle kannst du die Regel von L'Hospital verwenden).

6. Teile bei 0 auf. Jede Hälfte ist \lim\arctan b = \frac{\pi}{2}, insgesamt also \pi. Beide Hälften müssen konvergieren, damit das gesamte Integral konvergiert.

7. Der Integrand wird bei x = 0 unbeschränkt:

8. \displaystyle\lim_{t\to 0^+}\big(\ln 1 - \ln t\big) = \lim_{t\to 0^+}(-\ln t) = \infty, das Integral divergiert also.

9. Eine Stammfunktion ist x\ln x - x. Bei x = 1 ist sie -1. Für t \to 0^+ gilt t\ln t \to 0, also:

10. Die Asymptote bei x = 0 liegt im Inneren des Intervalls, also teilst du dort auf. Die rechte Hälfte ist \lim_{t\to 0^+}\left(\frac{1}{t} - 1\right) = \infty, das gesamte Integral divergiert also. Die verlockende Antwort \left[-\frac{1}{x}\right]_{-1}^{1} = -2 ist unmöglich, denn der Integrand ist positiv.

11. Die Asymptote liegt bei x = 1, also im Inneren von [0, 3]. Eine Stammfunktion ist 3(x - 1)^{1/3}, und sie ist bei x = 1 stetig:

Beide Hälften konvergieren, insgesamt ergibt sich also 3 + 3\sqrt[3]{2} \approx 6.78.

12. Da -1 \le \cos x \le 1 gilt, liegt der Integrand zwischen \frac{1}{x^2} und \frac{3}{x^2}. Und \int_1^{\infty}\frac{3}{x^2}\,dx = 3 konvergiert. Eine positive Funktion unterhalb einer konvergenten Majorante konvergiert ebenfalls.

Typische Fehler bei diesen Aufgaben

• Eine Asymptote im Inneren des Intervalls übersehen. Die Aufgaben 10 und 11 sehen aus wie gewöhnliche bestimmte Integrale. Prüfe immer, wo der Integrand nicht definiert ist.
• \infty wie eine Zahl behandeln. Schreibe den Grenzwert aus. Ausdrücke wie \frac{1}{\infty} verschleiern Fehler.
• In die falsche Richtung vergleichen. Kleiner als ein divergentes Integral zu sein beweist nichts. Größer als ein konvergentes zu sein beweist ebenfalls nichts.
• Nur eine Seite untersuchen. In Aufgabe 6 müssen beide Hälften einzeln konvergieren.

Weiter üben

Für unbegrenzt viele Aufgaben mit sofortigem Feedback probiere die Lektion zu unendlichen Grenzen, die Lektion zu Polstellen im Integrationsbereich und die Lektion zum Vergleichskriterium. Dieselbe p-Regel begegnet dir bei Reihen wieder, in den Aufgaben zu Konvergenzkriterien.