Derivada de ln(cos x): fórmula, pasos y ejemplos

La derivada de \ln(\cos x) es -\tan x. Es un cálculo corto con la regla de la cadena, y es la razón por la que la integral de \tan x contiene un logaritmo.

Paso a paso con la regla de la cadena

Para el logaritmo de una función, la derivada de ln x junto con la regla de la cadena da \frac{d}{dx}\ln u = \frac{u'}{u}. Aquí u = \cos x:

1. El interior es u = \cos x.
2. Su derivada es u' = -\sin x (consulta la derivada de cos x).
3. Divide: \frac{u'}{u} = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x.

Dónde está definida ln(cos x)

Un logaritmo solo admite valores positivos, así que \ln(\cos x) solo existe donde \cos x > 0. Ese es el intervalo \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) y sus copias desplazadas 2\pi. Donde \cos x < 0, usa \ln\lvert\cos x\rvert. Tiene la misma derivada, -\tan x, siempre que \cos x \ne 0.

Gráfica de ln(cos x) y de su derivada

Como \cos x \le 1, \ln(\cos x) \le 0, con valor máximo 0 en x = 0. La segunda derivada es -\sec^2 x, que siempre es negativa, así que la gráfica es cóncava hacia abajo en todo su dominio.

Por qué esto da la integral de tan x

Dale la vuelta al resultado. Como \frac{d}{dx}\ln\lvert\cos x\rvert = -\tan x,

Las dos formas son iguales porque -\ln\lvert\cos x\rvert = \ln\frac{1}{\lvert\cos x\rvert}. El método completo, con cambio de variable, está en la página de la integral de tan x.

Logaritmos de otras funciones trigonométricas

La última fila es la famosa que hay detrás de \int\sec x\,dx = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C. Compruébalo: la derivada del interior es \sec x\tan x + \sec^2 x = \sec x(\tan x + \sec x), y al dividir entre \sec x + \tan x queda \sec x.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. \frac{d}{dx}\ln(\cos 2x) = \frac{-2\sin 2x}{\cos 2x} = -2\tan 2x.

Ejemplo 2. \frac{d}{dx}\ln(\cos^2 x) = \frac{d}{dx}2\ln(\cos x) = -2\tan x.

Ejemplo 3: recta tangente. En x = \frac{\pi}{4}, \ln\left(\cos\frac{\pi}{4}\right) = \ln\frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\ln 2}{2} \approx -0.347, y la pendiente es -\tan\frac{\pi}{4} = -1. La recta tangente es y = -\frac{\ln 2}{2} - \left(x - \frac{\pi}{4}\right).

Errores comunes

1. Escribir \frac{1}{\cos x}. Eso es \sec x, y olvida la derivada interior -\sin x.
2. Perder el signo menos. La derivada de \cos x es -\sin x, así que el resultado es -\tan x, no \tan x.
3. Escribir -\frac{1}{\sin x}. Invertiste la derivada interior en lugar de dividir entre el interior.

Practica más ejercicios de la regla de la cadena con funciones trigonométricas en los ejercicios de derivadas trigonométricas.