Derivada de ln(cos x): fórmula, passo a passo e exemplos

A derivada de \ln(\cos x) é -\tan x. É um cálculo curto com a regra da cadeia, e é o motivo pelo qual a integral de \tan x envolve um logaritmo.

Passo a passo com a regra da cadeia

Para o logaritmo de uma função, a derivada de ln x junto com a regra da cadeia dá \frac{d}{dx}\ln u = \frac{u'}{u}. Aqui u = \cos x:

1. A função de dentro é u = \cos x.
2. Sua derivada é u' = -\sin x (veja a derivada de cos x).
3. Divida: \frac{u'}{u} = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x.

Onde ln(cos x) está definida

Um logaritmo só aceita entradas positivas, então \ln(\cos x) só existe onde \cos x > 0. Isso é o intervalo \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) e suas cópias deslocadas de 2\pi. Onde \cos x < 0, use \ln\lvert\cos x\rvert. Ela tem a mesma derivada, -\tan x, onde quer que \cos x \ne 0.

Gráfico de ln(cos x) e de sua derivada

Como \cos x \le 1, temos \ln(\cos x) \le 0, com valor máximo 0 em x = 0. A derivada segunda é -\sec^2 x, que é sempre negativa, então o gráfico tem concavidade para baixo em todo ponto onde existe.

Por que isso dá a integral de tg x

Inverta o resultado. Como \frac{d}{dx}\ln\lvert\cos x\rvert = -\tan x,

As duas formas são iguais porque -\ln\lvert\cos x\rvert = \ln\frac{1}{\lvert\cos x\rvert}. O método completo, com substituição, está na página da integral de tg x.

Logaritmos de outras funções trigonométricas

A última linha é a famosa, por trás de \int\sec x\,dx = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C. Confira: a derivada de dentro é \sec x\tan x + \sec^2 x = \sec x(\tan x + \sec x), e dividir por \sec x + \tan x deixa \sec x.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1. \frac{d}{dx}\ln(\cos 2x) = \frac{-2\sin 2x}{\cos 2x} = -2\tan 2x.

Exemplo 2. \frac{d}{dx}\ln(\cos^2 x) = \frac{d}{dx}2\ln(\cos x) = -2\tan x.

Exemplo 3: reta tangente. Em x = \frac{\pi}{4}, \ln\left(\cos\frac{\pi}{4}\right) = \ln\frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\ln 2}{2} \approx -0.347, e a inclinação é -\tan\frac{\pi}{4} = -1. A reta tangente é y = -\frac{\ln 2}{2} - \left(x - \frac{\pi}{4}\right).

Erros comuns

1. Escrever \frac{1}{\cos x}. Isso é \sec x, e esquece a derivada de dentro, -\sin x.
2. Perder o sinal de menos. A derivada de \cos x é -\sin x, então a resposta é -\tan x, não \tan x.
3. Escrever -\frac{1}{\sin x}. Você inverteu a derivada de dentro em vez de dividir pela função de dentro.

Pratique mais a regra da cadeia com funções trigonométricas nos exercícios de derivadas trigonométricas.