Ableitung von ln(cos x): Formel, Schritte und Beispiele

Die Ableitung von \ln(\cos x) ist -\tan x. Sie ist eine kurze Rechnung mit der Kettenregel und der Grund, warum im Integral von \tan x ein Logarithmus auftaucht.

Schritt für Schritt mit der Kettenregel

Für den Logarithmus einer Funktion liefern die Ableitung von ln x und die Kettenregel zusammen \frac{d}{dx}\ln u = \frac{u'}{u}. Hier ist u = \cos x:

1. Die innere Funktion ist u = \cos x.
2. Ihre Ableitung ist u' = -\sin x (siehe die Ableitung von cos x).
3. Teilen: \frac{u'}{u} = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x.

Wo ln(cos x) definiert ist

Ein Logarithmus akzeptiert nur positive Eingaben, also existiert \ln(\cos x) nur dort, wo \cos x > 0 ist. Das ist das Intervall \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) und seine um 2\pi verschobenen Kopien. Wo \cos x < 0 gilt, nimmst du stattdessen \ln\lvert\cos x\rvert. Diese Funktion hat überall dort, wo \cos x \ne 0 ist, dieselbe Ableitung -\tan x.

Graph von ln(cos x) und seiner Ableitung

Wegen \cos x \le 1 gilt \ln(\cos x) \le 0, mit dem Maximalwert 0 bei x = 0. Die zweite Ableitung ist -\sec^2 x und damit immer negativ, der Graph ist also überall, wo er existiert, rechtsgekrümmt.

Warum daraus das Integral von tan x folgt

Dreh das Ergebnis um. Wegen \frac{d}{dx}\ln\lvert\cos x\rvert = -\tan x gilt

Die beiden Formen sind gleich, weil -\ln\lvert\cos x\rvert = \ln\frac{1}{\lvert\cos x\rvert} ist. Den vollständigen Weg mit der Substitutionsregel findest du auf der Seite zum Integral von tan x.

Logarithmen anderer trigonometrischer Funktionen

Die letzte Zeile ist die berühmte Grundlage für \int\sec x\,dx = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C. Probe: Die Ableitung der inneren Funktion ist \sec x\tan x + \sec^2 x = \sec x(\tan x + \sec x), und nach dem Teilen durch \sec x + \tan x bleibt \sec x übrig.

Rechenbeispiele

Beispiel 1. \frac{d}{dx}\ln(\cos 2x) = \frac{-2\sin 2x}{\cos 2x} = -2\tan 2x.

Beispiel 2. \frac{d}{dx}\ln(\cos^2 x) = \frac{d}{dx}2\ln(\cos x) = -2\tan x.

Beispiel 3: Tangente. Bei x = \frac{\pi}{4} ist \ln\left(\cos\frac{\pi}{4}\right) = \ln\frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\ln 2}{2} \approx -0.347, und die Steigung ist -\tan\frac{\pi}{4} = -1. Die Tangente lautet y = -\frac{\ln 2}{2} - \left(x - \frac{\pi}{4}\right).

Typische Fehler

1. \frac{1}{\cos x} schreiben. Das ist \sec x, und dabei fehlt die innere Ableitung -\sin x.
2. Das Minuszeichen verlieren. Die Ableitung von \cos x ist -\sin x, das Ergebnis ist also -\tan x, nicht \tan x.
3. -\frac{1}{\sin x} schreiben. Du hast die innere Ableitung umgedreht, statt durch die innere Funktion zu teilen.

Übe weitere Aufgaben zur Kettenregel mit trigonometrischen Funktionen bei den Aufgaben zu trigonometrischen Ableitungen.