Ejercicios resueltos de series de Taylor y Maclaurin

Estos ejercicios de series de Taylor cubren cómo construir series de Maclaurin y de Taylor, polinomios de Taylor, estimaciones con cota de error y el uso de series para calcular límites, derivadas y sumas. Intenta cada uno primero. Primero van las respuestas y después las soluciones completas.

La fórmula:

Para ver el razonamiento y más ejemplos, lee la guía de series de Taylor.

Ejercicios

Construir series

1. Halla los cuatro primeros términos no nulos de la serie de Maclaurin de e^{2x}.
2. Halla los tres primeros términos no nulos de la serie de Maclaurin de \cos(x^2).
3. Halla los cuatro primeros términos no nulos de la serie de Maclaurin de x\,e^{-x}.
4. Halla la serie de Taylor de \ln x centrada en a = 1.
5. Halla el polinomio de Taylor de grado 3 de \sqrt{x} centrado en a = 4.
6. Usa la serie de \frac{1}{1 + x^2} para hallar la serie de Maclaurin de \arctan x.

Estimaciones

7. Usa el polinomio de Taylor de grado 2 del ejercicio 5 para estimar \sqrt{4.1}.
8. Estima \sin(0.5) con x - \frac{x^3}{6} y acota el error.

Usar series

9. Halla f^{(10)}(0) para f(x) = x^2\cos x.
10. Calcula \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x - x}{x^3}.
11. Calcula \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^x - 1 - x}{x^2}.
12. Calcula la suma \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\pi^{2n}}{(2n)!}.

Respuestas

Soluciones paso a paso

1. Cambia x por 2x en e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots:

2. Cambia x por x^2 en \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots:

3. e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \cdots. Multiplica cada término por x.

4. Para f(x) = \ln x: f(1) = 0, f'(1) = 1, f''(1) = -1, f'''(1) = 2, y en general f^{(n)}(1) = (-1)^{n+1}(n - 1)!. Divide entre n! para obtener \frac{(-1)^{n+1}}{n}:

5. Calcula las derivadas en x = 4:

6. \frac{1}{1 + x^2} = 1 - x^2 + x^4 - \cdots para |x| < 1. Integra término a término de 0 a x:

7. Con x - 4 = 0.1:

El valor real es 2.0248457\ldots, así que la estimación difiere en unos 0.000002.

8. 0.5 - \frac{0.125}{6} \approx 0.479167. La serie es alternada con términos decrecientes, así que el error es menor que el término siguiente, \frac{0.5^5}{120} \approx 0.00026. El valor real es 0.479426, con una diferencia de 0.000259.

9. x^2\cos x = x^2 - \frac{x^4}{2!} + \frac{x^6}{4!} - \frac{x^8}{6!} + \frac{x^{10}}{8!} - \cdots. El coeficiente de x^{10} es \frac{1}{8!}, y también es igual a \frac{f^{(10)}(0)}{10!}:

10. \sin x - x = -\frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots. Divide entre x^3: -\frac{1}{6} + \frac{x^2}{120} - \cdots \to -\frac{1}{6}.

11. e^x - 1 - x = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots. Divide entre x^2: \frac{1}{2} + \frac{x}{6} + \cdots \to \frac{1}{2}.

12. Es la serie del coseno \sum\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} con x = \pi, así que la suma es \cos\pi = -1.

Errores comunes en estos ejercicios

• Olvidar el factorial. El coeficiente es \frac{f^{(n)}(a)}{n!}, no f^{(n)}(a). En el ejercicio 5, f''(4) = -\frac{1}{32} pero el coeficiente es -\frac{1}{64}.
• Derivar cuando basta con sustituir. Derivar \cos(x^2) ocho veces es lento. Sustituye en la serie conocida.
• Usar x en lugar de x - a. Una serie de Taylor en a = 4 usa potencias de (x - 4).
• Confundir qué coeficiente da qué derivada. En el ejercicio 9, el coeficiente de x^{10} viene del término n = 4 del coseno, y se multiplica por 10!.

Sigue practicando

Para practicar sin límite con corrección al instante, prueba la lección de polinomios de Taylor, la lección de series de Maclaurin y la lección de estimaciones con Taylor. Después, prueba los ejercicios de paramétricas y polares, que completan la misma unidad de Cálculo 2.