Ejercicios del Teorema Fundamental del Cálculo resueltos

Estos ejercicios del Teorema Fundamental del Cálculo cubren las dos partes del teorema: derivar integrales con límites variables, calcular integrales definidas e interpretar funciones de acumulación. Intenta cada uno primero. Las respuestas van primero y después las soluciones completas.

Las dos partes:

Con la regla de la cadena, la parte 1 se convierte en \frac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x))\,g'(x). Para el razonamiento, consulta la parte 1 y la parte 2.

Ejercicios

Parte 1: derivadas de integrales

1. \displaystyle\frac{d}{dx}\int_1^{x}(t^3 + 1)\,dt
2. \displaystyle\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt
3. \displaystyle\frac{d}{dx}\int_x^{5}e^{t^2}\,dt
4. \displaystyle\frac{d}{dx}\int_x^{x^2}\frac{1}{t}\,dt para x > 0
5. \displaystyle\frac{d}{dx}\int_0^{\sin x}(1 + t^2)\,dt

Parte 2: cálculo de integrales

6. \displaystyle\int_1^{2}(6x^2 - 2)\,dx
7. \displaystyle\int_0^{\pi}\sin x\,dx
8. \displaystyle\int_0^{\ln 3}e^x\,dx
9. \displaystyle\int_0^{1}\frac{1}{1 + x^2}\,dx

Funciones de acumulación

10. Sea g(x) = \int_0^{x}(t^2 - 4)\,dt. ¿Dónde es creciente g? Halla el mínimo local de g y su valor.
11. Sea F(x) = \int_2^{x}\sqrt{t^2 + 5}\,dt. Halla F(2) y F'(2).
12. Sea g(x) = \int_0^{x}\sin(t^2)\,dt. Halla g''(x).

Respuestas

Soluciones paso a paso

1. El límite superior es simplemente x, así que sustituye t por x. El límite inferior 1 no importa:

2. El límite superior es x^2, así que sustitúyelo y multiplica por su derivada 2x:

3. La variable está en el límite inferior. Intercambia los límites para obtener -\int_5^{x}e^{t^2}\,dt y usa la parte 1:

Observa que e^{t^2} no tiene antiderivada elemental, así que la parte 1 es la única forma de resolverlo.

4. Límite superior menos límite inferior, cada uno con su factor de la regla de la cadena:

Comprobación: la integral es igual a \ln(x^2) - \ln x = \ln x, cuya derivada es \frac{1}{x}.

5. Sustituye \sin x en 1 + t^2 y multiplica por \cos x:

6. Una antiderivada es 2x^3 - 2x:

7. Una antiderivada de \sin x es -\cos x:

8. Como e^{\ln 3} = 3:

9. Una antiderivada es \arctan x:

10. Por la parte 1, g'(x) = x^2 - 4. Es positiva cuando |x| > 2, así que g crece en (-\infty, -2) y (2, \infty). En x = 2, g' pasa de negativa a positiva, así que g tiene ahí un mínimo local:

11. Cuando los límites coinciden, la integral vale 0, así que F(2) = 0. Por la parte 1, F'(x) = \sqrt{x^2 + 5}, así que F'(2) = \sqrt{9} = 3.

12. Primero g'(x) = \sin(x^2). Deriva otra vez con la regla de la cadena:

Errores comunes en estos ejercicios

• Olvidar el factor de la regla de la cadena. En el ejercicio 2, \cos(x^2) a secas es incorrecto. Multiplica por la derivada del límite superior.
• Ignorar un límite inferior variable. En el ejercicio 3, el signo menos sale de intercambiar los límites.
• Intentar integrar primero cuando no se puede. e^{t^2} y \sin(t^2) no tienen antiderivadas elementales. La parte 1 te permite saltarte ese paso.
• Confundir g con g'. En el ejercicio 10, g crece donde el integrando es positivo, no donde g es positiva.

Sigue practicando

Para practicar sin límite con corrección al instante, prueba la lección del Teorema Fundamental, parte 1, la lección de la parte 2 y la lección de funciones de acumulación. Para una visión de conjunto, lee la guía del Teorema Fundamental. Después pasa a los ejercicios de sustitución.