Exercícios do Teorema Fundamental do Cálculo, com respostas

Estes exercícios do Teorema Fundamental do Cálculo cobrem as duas partes do teorema: derivar integrais com limites variáveis, calcular integrais definidas e interpretar funções acumulação. Tente cada um primeiro. As respostas vêm antes, depois as resoluções completas.

As duas partes:

Com a regra da cadeia, a Parte 1 vira \frac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x))\,g'(x). Para entender o raciocínio, veja a Parte 1 e a Parte 2.

Exercícios

Parte 1: derivadas de integrais

1. \displaystyle\frac{d}{dx}\int_1^{x}(t^3 + 1)\,dt
2. \displaystyle\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt
3. \displaystyle\frac{d}{dx}\int_x^{5}e^{t^2}\,dt
4. \displaystyle\frac{d}{dx}\int_x^{x^2}\frac{1}{t}\,dt para x > 0
5. \displaystyle\frac{d}{dx}\int_0^{\sin x}(1 + t^2)\,dt

Parte 2: cálculo de integrais

6. \displaystyle\int_1^{2}(6x^2 - 2)\,dx
7. \displaystyle\int_0^{\pi}\sin x\,dx
8. \displaystyle\int_0^{\ln 3}e^x\,dx
9. \displaystyle\int_0^{1}\frac{1}{1 + x^2}\,dx

Funções acumulação

10. Seja g(x) = \int_0^{x}(t^2 - 4)\,dt. Onde g é crescente? Encontre o mínimo local de g e o seu valor.
11. Seja F(x) = \int_2^{x}\sqrt{t^2 + 5}\,dt. Encontre F(2) e F'(2).
12. Seja g(x) = \int_0^{x}\sin(t^2)\,dt. Encontre g''(x).

Respostas

Resolução passo a passo

1. O limite superior é simplesmente x, então troque t por x. O limite inferior 1 não importa:

2. O limite superior é x^2, então substitua-o e multiplique pela derivada dele, 2x:

3. A variável está no limite inferior. Inverta os limites para obter -\int_5^{x}e^{t^2}\,dt e depois use a Parte 1:

Repare que e^{t^2} não tem antiderivada elementar, então a Parte 1 é o único caminho aqui.

4. Limite superior menos limite inferior, cada um com o seu fator da regra da cadeia:

Verificação: a integral é igual a \ln(x^2) - \ln x = \ln x, cuja derivada é \frac{1}{x}.

5. Substitua \sin x em 1 + t^2 e multiplique por \cos x:

6. Uma antiderivada é 2x^3 - 2x:

7. Uma antiderivada de \sin x é -\cos x:

8. Como e^{\ln 3} = 3:

9. Uma antiderivada é \arctan x:

10. Pela Parte 1, g'(x) = x^2 - 4. Isso é positivo quando |x| > 2, então g cresce em (-\infty, -2) e (2, \infty). Em x = 2, g' passa de negativa para positiva, então g tem um mínimo local nesse ponto:

11. Quando os limites são iguais, a integral é 0, então F(2) = 0. Pela Parte 1, F'(x) = \sqrt{x^2 + 5}, logo F'(2) = \sqrt{9} = 3.

12. Primeiro, g'(x) = \sin(x^2). Derive de novo com a regra da cadeia:

Erros comuns nestes exercícios

• Esquecer o fator da regra da cadeia. No exercício 2, \cos(x^2) sozinho está errado. Multiplique pela derivada do limite superior.
• Ignorar um limite inferior variável. No exercício 3, o sinal de menos vem da inversão dos limites.
• Tentar integrar primeiro quando não dá. e^{t^2} e \sin(t^2) não têm antiderivadas elementares. A Parte 1 permite pular essa etapa.
• Confundir g com g'. No exercício 10, g cresce onde o integrando é positivo, não onde a própria g é positiva.

Continue praticando

Para exercícios ilimitados com correção imediata, experimente a lição do Teorema Fundamental, Parte 1, a lição da Parte 2 e a lição de funções acumulação. Para uma visão geral, leia o guia do Teorema Fundamental. Depois passe para os exercícios de substituição.