Función constante f(x) = c: gráfica, derivada, integral y propiedades

Una función constante devuelve el mismo número sin importar qué valor le des. Se escribe f(x) = c, donde c es un número real fijo, y es la función más sencilla del cálculo y el punto de partida de todas las reglas de derivación e integración.

Definición y fórmula

Aquí c puede ser cualquier número real: f(x) = 3, g(x) = -\tfrac{1}{2}, h(x) = \pi. La entrada x no aparece en el lado derecho, así que cambiar x nunca cambia la salida. Algunos ejemplos que verás en la práctica son una tarifa fija, la aceleración de un objeto a velocidad constante (cero) o el valor f(a) una vez fijado a.

Gráfica de una función constante

La gráfica de y = c es una recta horizontal que corta al eje y en (0, c). Todos sus puntos tienen la misma altura.

Derivada de una constante

La derivada de una constante es cero:

A partir de la definición de derivada como límite:

Geométricamente, una recta horizontal tiene pendiente 0, así que cada recta tangente es la propia recta. Este hecho es la regla de la constante y explica por qué el término independiente de un polinomio desaparece al derivar.

Integral de una constante

Yendo hacia atrás, una función cuya derivada es c es cx, así que

Para una integral definida, el área bajo y = c desde a hasta b es un rectángulo de altura c y base b - a:

Si c es negativa, el rectángulo queda por debajo del eje y el área con signo es negativa.

Propiedades clave

• Continua y derivable en todo punto. No tiene saltos, huecos ni picos.
• Los límites son inmediatos. \lim_{x \to a} c = c para todo a, y también \lim_{x \to \pm\infty} c = c.
• Función par. f(-x) = f(x), así que la gráfica es simétrica respecto al eje y.
• Ni creciente ni decreciente. Es a la vez no creciente y no decreciente.
• Cada punto es un máximo y un mínimo. Como la salida nunca cambia, cada x da a la vez el valor más grande y el más pequeño.
• Polinomio de grado cero. Una constante distinta de cero es cx^0, el primer escalón de las funciones polinómicas.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Deriva f(x) = 7. La derivada es f'(x) = 0.

Ejemplo 2. Deriva g(x) = 4x^2 + 9. Por la regla de la suma, g'(x) = 8x + 0 = 8x. El 9 no aporta nada.

Ejemplo 3. Deriva y = \pi^2. Aunque parezca complicado, \pi^2 \approx 9.87 es solo un número, así que y' = 0.

Ejemplo 4. Calcula \int_1^4 5\,dx. La antiderivada es 5x, así que el valor es 5(4) - 5(1) = 15, el área de un rectángulo de 5 \times 3.

Errores comunes

1. Tratar como variables las constantes que parecen expresiones. e^2, \ln 3 y \sin\frac{\pi}{6} son números, así que sus derivadas son 0. Es frecuente escribir por error \frac{d}{dx}e^2 = e^2.
2. Olvidar la x al integrar. \int 5\,dx = 5x + C, no 5 + C.
3. Confundir c y C. La constante de integración C es nueva y arbitraria. No es el mismo número que la c de f(x) = c.
4. Eliminar un factor constante. La derivada de un término constante es 0, pero un factor constante se mantiene: \frac{d}{dx}(5x) = 5, no 0. Consulta la regla del múltiplo constante.

Cómo se relaciona

Una función constante es una función lineal con pendiente 0 y el caso particular n = 0 de las funciones potencia. En las aplicaciones, una derivada igual a cero en un intervalo indica que la función original es constante allí, una consecuencia del teorema del valor medio. Por eso también toda antiderivada lleva un +\,C: dos funciones con la misma derivada difieren en una constante. Para saber más, lee la guía de antiderivadas.