Fonction constante f(x) = c : courbe, dérivée, primitive et propriétés

Une fonction constante renvoie le même nombre quelle que soit la valeur de départ. Notée f(x) = c, où c est un réel fixé, c'est la fonction la plus simple de l'analyse et le point de départ de toutes les règles de dérivation et d'intégration.

Définition et formule

Ici, c peut être n'importe quel réel : f(x) = 3, g(x) = -\tfrac{1}{2}, h(x) = \pi. La variable x n'apparaît pas dans le membre de droite, donc modifier x ne change jamais le résultat. Dans la pratique, on rencontre par exemple un tarif fixe, l'accélération d'un mobile à vitesse constante (nulle), ou la valeur f(a) une fois a fixé.

Courbe d'une fonction constante

La courbe de y = c est une droite horizontale qui coupe l'axe des y en (0, c). Tous ses points sont à la même hauteur.

Dérivée d'une constante

La dérivée d'une constante est nulle :

D'après la définition de la dérivée par une limite :

Géométriquement, une droite horizontale a une pente 0, donc chaque tangente est la droite elle-même. Ce résultat est la règle de la constante, et il explique pourquoi le terme constant d'un polynôme disparaît quand on dérive.

Primitive d'une constante

En sens inverse, une fonction dont la dérivée vaut c est cx, donc

Pour une intégrale définie, l'aire sous y = c entre a et b est celle d'un rectangle de hauteur c et de largeur b - a :

Si c est négatif, le rectangle est sous l'axe et l'aire algébrique est négative.

Propriétés principales

• Continue et dérivable partout. Il n'y a ni saut, ni trou, ni point anguleux.
• Les limites sont immédiates. \lim_{x \to a} c = c pour tout a, et aussi \lim_{x \to \pm\infty} c = c.
• Fonction paire. f(-x) = f(x), donc la courbe est symétrique par rapport à l'axe des y.
• Ni strictement croissante ni strictement décroissante. Elle est à la fois croissante et décroissante au sens large.
• Chaque point est à la fois un maximum et un minimum. Comme la valeur ne change jamais, chaque x donne à la fois la plus grande et la plus petite valeur.
• Polynôme de degré zéro. Une constante non nulle s'écrit cx^0, le premier échelon des fonctions polynômes.

Exemples corrigés

Exemple 1. Dérivons f(x) = 7. La dérivée est f'(x) = 0.

Exemple 2. Dérivons g(x) = 4x^2 + 9. Par la règle de la somme, g'(x) = 8x + 0 = 8x. Le 9 n'apporte rien.

Exemple 3. Dérivons y = \pi^2. Même si cela paraît compliqué, \pi^2 \approx 9.87 n'est qu'un nombre, donc y' = 0.

Exemple 4. Calculons \int_1^4 5\,dx. Une primitive est 5x, donc la valeur est 5(4) - 5(1) = 15, l'aire d'un rectangle 5 \times 3.

Erreurs fréquentes

1. Traiter comme des variables des constantes qui ressemblent à des expressions. e^2, \ln 3 et \sin\frac{\pi}{6} sont des nombres, donc leurs dérivées valent 0. Les élèves écrivent souvent par erreur \frac{d}{dx}e^2 = e^2.
2. Oublier le x en intégrant. \int 5\,dx = 5x + C, et non 5 + C.
3. Confondre c et C. La constante d'intégration C est nouvelle et arbitraire. Ce n'est pas le même nombre que le c de f(x) = c.
4. Faire disparaître un facteur constant. La dérivée d'un terme constant est 0, mais un facteur constant reste : \frac{d}{dx}(5x) = 5, et non 0. Voir la règle du multiple constant.

Liens avec le reste du programme

Une fonction constante est une fonction affine de pente 0, et le cas particulier n = 0 des fonctions puissances. Dans les applications, une dérivée nulle sur un intervalle indique que la fonction de départ y est constante, conséquence du théorème des accroissements finis. C'est aussi pourquoi chaque primitive comporte un +\,C : deux fonctions de même dérivée diffèrent d'une constante. Pour aller plus loin, lisez le guide sur les primitives.