Konstante Funktion f(x) = c: Graph, Ableitung, Integral, Eigenschaften

Eine konstante Funktion liefert immer dieselbe Zahl, egal was du einsetzt. Geschrieben als f(x) = c, wobei c eine feste reelle Zahl ist, ist sie die einfachste Funktion der Analysis und der Ausgangspunkt für jede Ableitungs- und Integrationsregel.

Definition und Formel

Dabei kann c jede reelle Zahl sein: f(x) = 3, g(x) = -\tfrac{1}{2}, h(x) = \pi. Die Eingabe x kommt auf der rechten Seite nicht vor, also ändert eine Änderung von x nie den Funktionswert. Beispiele aus der Praxis sind eine feste Gebühr, die Beschleunigung bei konstanter Geschwindigkeit (null) oder der Wert f(a), sobald a festgelegt ist.

Graph einer konstanten Funktion

Der Graph von y = c ist eine waagerechte Gerade, die die y-Achse in (0, c) schneidet. Jeder Punkt darauf hat dieselbe Höhe.

Ableitung einer Konstanten

Die Ableitung einer Konstanten ist null:

Aus der Definition der Ableitung über den Grenzwert:

Geometrisch hat eine waagerechte Gerade die Steigung 0, also ist jede Tangente die Gerade selbst. Diese Tatsache ist die Konstantenregel, und sie erklärt, warum das konstante Glied eines Polynoms beim Ableiten verschwindet.

Integral einer Konstanten

Rückwärts gedacht ist eine Funktion mit der Ableitung c gleich cx, also

Bei einem bestimmten Integral ist die Fläche unter y = c von a bis b ein Rechteck mit der Höhe c und der Breite b - a:

Ist c negativ, liegt das Rechteck unterhalb der Achse, und der orientierte Flächeninhalt ist negativ.

Wichtige Eigenschaften

• Überall stetig und differenzierbar. Es gibt keine Sprünge, Lücken oder Knicke.
• Grenzwerte sind trivial. \lim_{x \to a} c = c für jedes a, und ebenso \lim_{x \to \pm\infty} c = c.
• Gerade Funktion. f(-x) = f(x), der Graph ist also symmetrisch zur y-Achse.
• Weder steigend noch fallend. Sie ist zugleich monoton fallend und monoton steigend im nicht strengen Sinn.
• Jeder Punkt ist Maximum und Minimum. Da sich der Funktionswert nie ändert, liefert jedes x zugleich den größten und den kleinsten Wert.
• Polynom vom Grad null. Eine Konstante ungleich null ist cx^0, die unterste Stufe der Polynomfunktionen.

Rechenbeispiele

Beispiel 1. Leite f(x) = 7 ab. Die Ableitung ist f'(x) = 0.

Beispiel 2. Leite g(x) = 4x^2 + 9 ab. Nach der Summenregel ist g'(x) = 8x + 0 = 8x. Die 9 trägt nichts bei.

Beispiel 3. Leite y = \pi^2 ab. Auch wenn es kompliziert aussieht, ist \pi^2 \approx 9.87 nur eine Zahl, also y' = 0.

Beispiel 4. Berechne \int_1^4 5\,dx. Die Stammfunktion ist 5x, der Wert also 5(4) - 5(1) = 15, die Fläche eines 5 \times 3-Rechtecks.

Häufige Fehler

1. Konstanten, die wie Terme aussehen, als Variablen behandeln. e^2, \ln 3 und \sin\frac{\pi}{6} sind Zahlen, ihre Ableitungen sind also 0. Oft wird fälschlich \frac{d}{dx}e^2 = e^2 geschrieben.
2. Das x beim Integrieren vergessen. \int 5\,dx = 5x + C, nicht 5 + C.
3. c und C verwechseln. Die Integrationskonstante C ist neu und beliebig. Sie ist nicht dieselbe Zahl wie das c in f(x) = c.
4. Einen konstanten Faktor weglassen. Die Ableitung eines konstanten Summanden ist 0, aber ein konstanter Faktor bleibt stehen: \frac{d}{dx}(5x) = 5, nicht 0. Siehe die Faktorregel.

Zusammenhänge

Eine konstante Funktion ist eine lineare Funktion mit Steigung 0 und der Spezialfall n = 0 der Potenzfunktionen. In Anwendungen sagt eine Ableitung, die auf einem Intervall null ist, dass die ursprüngliche Funktion dort konstant ist, eine Folgerung aus dem Mittelwertsatz. Deshalb trägt auch jede Stammfunktion ein +\,C: Zwei Funktionen mit derselben Ableitung unterscheiden sich um eine Konstante. Mehr dazu findest du im Leitfaden zu Stammfunktionen.