Derivación implícita: pasos, fórmula y ejemplos resueltos
La derivación implícita calcula dy/dx sin despejar y. La regla clave, un método en cuatro pasos, ejemplos con rectas tangentes y errores comunes.
Reglas de derivación Actualizado 2 min de lectura
De un vistazo
- Se aplica a
- Ecuaciones que relacionan x e y en las que y no está despejada, como x^2 + y^2 = 25
- Idea clave
- Tratar y como función de x, así que cada término con y recibe un factor \frac{dy}{dx} por la regla de la cadena
- Resultado
- Una fórmula para \frac{dy}{dx} que normalmente contiene tanto x como y
- Requiere
- Regla de la cadena, y la regla del producto para términos como xy
- Se usa en
- Rectas tangentes a curvas, razones de cambio relacionadas, derivadas de funciones inversas
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La derivación implícita calcula \frac{dy}{dx} a partir de una ecuación que mezcla x e y, sin despejar antes y. Derivas ambos lados respecto de x, recuerdas que y depende de x y luego despejas \frac{dy}{dx}. Es la regla de la cadena aplicada a y.
La regla clave
Como y es una función de x, cualquier expresión en y es una composición. Por la regla de la cadena:
| Término | Derivada respecto de x |
|---|---|
| x^3 | 3x^2 |
| y^3 | 3y^2\,\frac{dy}{dx} |
| \sin y | \cos y\,\frac{dy}{dx} |
| e^y | e^y\,\frac{dy}{dx} |
| xy | y + x\,\frac{dy}{dx} (regla del producto) |
Los cuatro pasos
- Deriva ambos lados de la ecuación respecto de x.
- Multiplica por \frac{dy}{dx} cada vez que derives un término con y.
- Pasa todos los términos con \frac{dy}{dx} a un lado y todo lo demás al otro.
- Saca \frac{dy}{dx} como factor común y divide.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: una circunferencia. Deriva x^2 + y^2 = 25:
En el punto (3, 4) la pendiente es -\frac{3}{4}, así que la recta tangente es y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3), o sea, y = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{4}.
Ejemplo 2: un término producto. Deriva x^3 + y^3 = 6xy, usando la regla del producto en 6xy:
Agrupa y saca factor común:
El punto (3, 3) está en la curva, ya que 27 + 27 = 54 = 6 \cdot 9. Allí la pendiente es \frac{6 - 9}{9 - 6} = -1.
Ejemplo 3: obtener la derivada de \ln x. Si y = \ln x, entonces e^y = x. Deriva:
Esta es la idea detrás de la derivada de la función inversa.
Ejemplo 4: una ecuación trigonométrica. Deriva \sin y = x^2:
Cuándo usar la derivación implícita
- Cuando es difícil o imposible despejar y de la ecuación (como en x^3 + y^3 = 6xy).
- Cuando la curva no es una sola función, como una circunferencia o una elipse, y quieres las pendientes en todas sus partes.
- Cuando necesitas derivadas de funciones inversas como \ln x, \arcsin x o \arctan x.
- En problemas de razones de cambio relacionadas, donde derivas respecto del tiempo t y cada magnitud tiene su propia razón de cambio.
Errores comunes
- Olvidar \frac{dy}{dx} en los términos con y. \frac{d}{dx}\,y^2 es 2y\,\frac{dy}{dx}, no 2y.
- Saltarse la regla del producto. \frac{d}{dx}\,xy es y + x\,\frac{dy}{dx}, no \frac{dy}{dx} ni 1 \cdot \frac{dy}{dx}.
- Derivar solo un lado. Ambos lados cambian, incluido un lado constante, cuya derivada es 0.
- Sustituir un punto que no está en la curva. Comprueba que el punto cumple la ecuación original antes de usarlo.
Para una explicación más larga con más ejercicios, lee la guía completa sobre la derivación implícita.
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