Dérivation implicite : méthode, formule et exemples corrigés
La dérivation implicite donne dy/dx sans isoler y. La règle clé, une méthode en quatre étapes, des exemples avec tangentes et les erreurs fréquentes.
Règles de dérivation Mis à jour Lecture : 3 min
En bref
- S'applique à
- Aux équations reliant x et y où y n'est pas isolé, comme x^2 + y^2 = 25
- Idée clé
- On traite y comme une fonction de x, donc chaque terme en y reçoit un facteur \frac{dy}{dx} par dérivation en chaîne
- Résultat
- Une formule pour \frac{dy}{dx} qui contient en général à la fois x et y
- Prérequis
- La dérivation en chaîne, et la règle du produit pour des termes comme xy
- Utilisée pour
- Les tangentes aux courbes, les taux de variation liés, les dérivées des fonctions réciproques
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La dérivation implicite permet de trouver \frac{dy}{dx} à partir d'une équation qui mélange x et y, sans isoler y au préalable. On dérive les deux membres par rapport à x, en se rappelant que y dépend de x, puis on résout pour obtenir \frac{dy}{dx}. C'est la dérivation en chaîne appliquée à y.
La règle clé
Comme y est une fonction de x, toute expression en y est une composée. D'après la dérivation en chaîne :
| Terme | Dérivée par rapport à x |
|---|---|
| x^3 | 3x^2 |
| y^3 | 3y^2\,\frac{dy}{dx} |
| \sin y | \cos y\,\frac{dy}{dx} |
| e^y | e^y\,\frac{dy}{dx} |
| xy | y + x\,\frac{dy}{dx} (règle du produit) |
Les quatre étapes
- Dériver les deux membres de l'équation par rapport à x.
- Multiplier par \frac{dy}{dx} chaque fois qu'on dérive un terme en y.
- Placer tous les termes en \frac{dy}{dx} d'un côté et tout le reste de l'autre.
- Mettre \frac{dy}{dx} en facteur et diviser.
Exemples corrigés
Exemple 1 : un cercle. On dérive x^2 + y^2 = 25 :
Au point (3, 4), la pente vaut -\frac{3}{4}, donc la tangente a pour équation y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3), soit y = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{4}.
Exemple 2 : un terme produit. On dérive x^3 + y^3 = 6xy, en appliquant la règle du produit à 6xy :
On regroupe et on factorise :
Le point (3, 3) est sur la courbe, puisque 27 + 27 = 54 = 6 \cdot 9. En ce point, la pente vaut \frac{6 - 9}{9 - 6} = -1.
Exemple 3 : retrouver la dérivée de \ln x. Si y = \ln x, alors e^y = x. On dérive :
C'est l'idée qui se cache derrière la dérivée de la fonction réciproque.
Exemple 4 : une équation trigonométrique. On dérive \sin y = x^2 :
Quand utiliser la dérivation implicite
- L'équation est difficile ou impossible à résoudre en y (comme x^3 + y^3 = 6xy).
- La courbe n'est pas une seule fonction, comme un cercle ou une ellipse, et on veut les pentes sur toutes ses parties.
- On a besoin des dérivées de fonctions réciproques comme \ln x, \arcsin x ou \arctan x.
- Dans les problèmes de taux de variation liés, où l'on dérive par rapport au temps t et où chaque grandeur a son propre taux.
Erreurs fréquentes
- Oublier \frac{dy}{dx} sur les termes en y. \frac{d}{dx}\,y^2 vaut 2y\,\frac{dy}{dx}, et non 2y.
- Oublier la règle du produit. \frac{d}{dx}\,xy vaut y + x\,\frac{dy}{dx}, et non \frac{dy}{dx} ou 1 \cdot \frac{dy}{dx}.
- Ne dériver qu'un seul membre. Les deux membres changent, y compris un membre constant, dont la dérivée vaut 0.
- Remplacer par un point qui n'est pas sur la courbe. Vérifiez que le point satisfait l'équation de départ avant de l'utiliser.
Pour une explication plus détaillée avec davantage d'exercices, lisez le guide complet sur la dérivation implicite.
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