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Ableitungsregeln

Implizites Differenzieren: Schritte, Formel und Beispiele

Implizites Differenzieren liefert dy/dx, ohne nach y aufzulösen. Die zentrale Regel, vier Schritte, Beispiele mit Tangenten und typische Fehler.

Ableitungsregeln Aktualisiert 2 Min. Lesezeit

Auf einen Blick

\frac{d}{dx}\,f(y) = f'(y)\,\frac{dy}{dx}
Anwendbar auf
Gleichungen in x und y, in denen y nicht freigestellt ist, etwa x^2 + y^2 = 25
Grundidee
Behandle y als Funktion von x, also bekommt jeder Term mit y nach der Kettenregel einen Faktor \frac{dy}{dx}
Ergebnis
Eine Formel für \frac{dy}{dx}, die meist sowohl x als auch y enthält
Voraussetzungen
Kettenregel und die Produktregel für Terme wie xy
Verwendet bei
Tangenten an Kurven, verknüpften Änderungsraten, Ableitungen von Umkehrfunktionen
Auf dieser Seite
  1. Die zentrale Regel
  2. Die vier Schritte
  3. Rechenbeispiele
  4. Wann man implizit differenziert
  5. Häufige Fehler

Implizites Differenzieren bestimmt \frac{dy}{dx} aus einer Gleichung, in der x und y gemischt vorkommen, ohne zuerst nach y aufzulösen. Du leitest beide Seiten nach x ab, denkst daran, dass y von x abhängt, und löst dann nach \frac{dy}{dx} auf. Es ist die Kettenregel, angewendet auf y.

Die zentrale Regel

Da y eine Funktion von x ist, ist jeder Ausdruck in y eine Verkettung. Nach der Kettenregel gilt:

\frac{d}{dx}\,f(y) = f'(y)\,\frac{dy}{dx}
Term Ableitung nach x
x^3 3x^2
y^3 3y^2\,\frac{dy}{dx}
\sin y \cos y\,\frac{dy}{dx}
e^y e^y\,\frac{dy}{dx}
xy y + x\,\frac{dy}{dx} (Produktregel)

Die vier Schritte

  1. Leite beide Seiten der Gleichung nach x ab.
  2. Multipliziere jedes Mal mit \frac{dy}{dx}, wenn du einen Term mit y ableitest.
  3. Bring alle Terme mit \frac{dy}{dx} auf eine Seite und alles andere auf die andere.
  4. Klammere \frac{dy}{dx} aus und teile.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: ein Kreis. Leite x^2 + y^2 = 25 ab:

2x + 2y\,\frac{dy}{dx} = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}

Im Punkt (3, 4) ist die Steigung -\frac{3}{4}, also lautet die Tangente y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3) oder y = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{4}.

Kreis x² + y² = 25 mit Tangente im Punkt (3, 4)
Implizites Differenzieren liefert \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}, also ist die Steigung in (3, 4) gleich -\frac{3}{4}.

Beispiel 2: ein Produktterm. Leite x^3 + y^3 = 6xy ab und verwende bei 6xy die Produktregel:

3x^2 + 3y^2\,\frac{dy}{dx} = 6y + 6x\,\frac{dy}{dx}

Sortieren und ausklammern:

\frac{dy}{dx}\left(3y^2 - 6x\right) = 6y - 3x^2 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{2y - x^2}{y^2 - 2x}

Der Punkt (3, 3) liegt auf der Kurve, denn 27 + 27 = 54 = 6 \cdot 9. Dort ist die Steigung \frac{6 - 9}{9 - 6} = -1.

Beispiel 3: die Ableitung von \ln x herleiten. Ist y = \ln x, dann gilt e^y = x. Ableiten ergibt:

e^y\,\frac{dy}{dx} = 1 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}

Das ist die Idee hinter der Ableitung der Umkehrfunktion.

Beispiel 4: eine trigonometrische Gleichung. Leite \sin y = x^2 ab:

\cos y\,\frac{dy}{dx} = 2x \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{\cos y}

Wann man implizit differenziert

  • Die Gleichung lässt sich nur schwer oder gar nicht nach y auflösen (wie x^3 + y^3 = 6xy).
  • Die Kurve ist keine einzelne Funktion, etwa ein Kreis oder eine Ellipse, und du willst Steigungen auf allen Teilen.
  • Du brauchst Ableitungen von Umkehrfunktionen wie \ln x, \arcsin x oder \arctan x.
  • Bei Aufgaben zu verknüpften Änderungsraten, in denen du nach der Zeit t ableitest und jede Größe ihre eigene Rate bekommt.

Häufige Fehler

  1. \frac{dy}{dx} bei Termen mit y vergessen. \frac{d}{dx}\,y^2 ist 2y\,\frac{dy}{dx}, nicht 2y.
  2. Die Produktregel überspringen. \frac{d}{dx}\,xy ist y + x\,\frac{dy}{dx}, nicht \frac{dy}{dx} oder 1 \cdot \frac{dy}{dx}.
  3. Nur eine Seite ableiten. Beide Seiten werden abgeleitet, auch eine konstante Seite, deren Ableitung 0 ist.
  4. Einen Punkt einsetzen, der nicht auf der Kurve liegt. Prüfe zuerst, ob der Punkt die ursprüngliche Gleichung erfüllt.

Eine ausführlichere Erklärung mit weiteren Übungsaufgaben findest du im vollständigen Leitfaden zum impliziten Differenzieren.

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Häufig gestellte Fragen

Was ist implizites Differenzieren?
Ein Verfahren, um \frac{dy}{dx} aus einer Gleichung in x und y zu bestimmen, ohne nach y aufzulösen. Du leitest beide Seiten nach x ab und wendest auf jeden Term mit y die Kettenregel an.

Warum multipliziert man mit dy/dx?
Weil y eine Funktion von x ist. Nach der Kettenregel gilt \frac{d}{dx}\,y^2 = 2y \cdot \frac{dy}{dx}, genau wie \frac{d}{dx}\,(g(x))^2 = 2g(x)\,g'(x).

Wann verwendet man implizites Differenzieren?
Wenn sich y nur schwer oder gar nicht freistellen lässt, wie in x^3 + y^3 = 6xy, oder wenn die Kurve nicht der Graph einer einzigen Funktion ist, wie bei einem Kreis.

Warum steht im Ergebnis ein y?
Die Kurve kann durch mehrere Punkte mit demselben x und unterschiedlichen Steigungen verlaufen. Das y sagt dir, welcher Punkt gemeint ist.

Geschrieben vom PracticeCalculus-Team

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Weitere regeln

Kettenregel \frac{d}{dx}\,f(g(x)) = f'(g(x))\,g'(x) Die Kettenregel: Die Ableitung von f(g(x)) ist f'(g(x))·g'(x). Die Formel in beiden Schreibweisen, eine Tabelle typischer Formen, Beispiele und Fehler. Produktregel \frac{d}{dx}\,[f(x)\,g(x)] = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x) Die Produktregel: Die Ableitung von f·g ist f'g + fg'. Die Formel, Rechenbeispiele, die Version mit drei Faktoren, ein kurzer Beweis und typische Fehler. Ableitung der Umkehrfunktion (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'\big(f^{-1}(x)\big)} Die Ableitung der Umkehrfunktion: Die Ableitung von f⁻¹ an der Stelle x ist 1/f'(f⁻¹(x)). Formel, Kehrwert der Steigung, Beispiele mit arcsin und ln.