Derivação implícita: passo a passo, fórmula e exemplos
A derivação implícita encontra dy/dx quando y não está isolado. A regra-chave, um método em quatro passos, exemplos com retas tangentes e erros comuns.
Regras de derivação Atualizado 2 min de leitura
Visão geral
- Aplica-se a
- Equações que relacionam x e y em que y não está isolado, como x^2 + y^2 = 25
- Ideia central
- Trate y como função de x, então todo termo com y ganha um fator \frac{dy}{dx} pela regra da cadeia
- Resultado
- Uma fórmula para \frac{dy}{dx} que geralmente contém x e y
- Pré-requisitos
- Regra da cadeia, e a regra do produto para termos como xy
- Usada em
- Retas tangentes a curvas, taxas relacionadas, derivadas de funções inversas
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A derivação implícita encontra \frac{dy}{dx} a partir de uma equação que mistura x e y, sem antes isolar y. Você deriva os dois lados em relação a x, lembra que y depende de x e então resolve para \frac{dy}{dx}. É a regra da cadeia aplicada a y.
A regra-chave
Como y é uma função de x, qualquer expressão em y é uma composição. Pela regra da cadeia:
| Termo | Derivada em relação a x |
|---|---|
| x^3 | 3x^2 |
| y^3 | 3y^2\,\frac{dy}{dx} |
| \sin y | \cos y\,\frac{dy}{dx} |
| e^y | e^y\,\frac{dy}{dx} |
| xy | y + x\,\frac{dy}{dx} (regra do produto) |
Os quatro passos
- Derive os dois lados da equação em relação a x.
- Multiplique por \frac{dy}{dx} toda vez que derivar um termo com y.
- Passe todos os termos com \frac{dy}{dx} para um lado e todo o resto para o outro.
- Coloque \frac{dy}{dx} em evidência e divida.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: uma circunferência. Derive x^2 + y^2 = 25:
No ponto (3, 4) a inclinação é -\frac{3}{4}, então a reta tangente é y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3), ou y = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{4}.
Exemplo 2: um termo de produto. Derive x^3 + y^3 = 6xy, usando a regra do produto em 6xy:
Junte os termos e coloque em evidência:
O ponto (3, 3) está na curva, pois 27 + 27 = 54 = 6 \cdot 9. Nele a inclinação é \frac{6 - 9}{9 - 6} = -1.
Exemplo 3: recuperando a derivada de \ln x. Se y = \ln x, então e^y = x. Derive:
Essa é a ideia por trás da derivada da função inversa.
Exemplo 4: uma equação trigonométrica. Derive \sin y = x^2:
Quando usar derivação implícita
- A equação é difícil ou impossível de resolver para y (como x^3 + y^3 = 6xy).
- A curva não é uma única função, como uma circunferência ou uma elipse, e você quer as inclinações em todas as partes.
- Você precisa de derivadas de funções inversas como \ln x, \arcsin x ou \arctan x.
- Em problemas de taxas relacionadas, em que se deriva em relação ao tempo t e cada grandeza tem sua própria taxa.
Erros comuns
- Esquecer o \frac{dy}{dx} nos termos com y. \frac{d}{dx}\,y^2 é 2y\,\frac{dy}{dx}, e não 2y.
- Pular a regra do produto. \frac{d}{dx}\,xy é y + x\,\frac{dy}{dx}, e não \frac{dy}{dx} nem 1 \cdot \frac{dy}{dx}.
- Derivar só um lado. Os dois lados mudam, inclusive um lado constante, cuja derivada é 0.
- Substituir um ponto que não está na curva. Confira se o ponto satisfaz a equação original antes de usá-lo.
Para uma explicação mais longa com mais exercícios, leia o guia completo de derivação implícita.
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Derivação implícita
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