Regla del múltiplo constante para derivadas: fórmula y ejemplos
La regla del múltiplo constante: la derivada de c·f(x) es c·f'(x). La fórmula, ejemplos resueltos, una demostración breve y los errores más comunes.
Reglas de derivación Actualizado 3 min de lectura
De un vistazo
- Se aplica a
- Una constante c multiplicada por cualquier función derivable f
- En palabras
- Se conserva la constante y se deriva la función
- Incluye la división
- Dividir entre una constante k es multiplicar por \frac{1}{k}
- Versión para integrales
- \int c\,f(x)\,dx = c \int f(x)\,dx
- Reglas relacionadas
- Regla de la potencia, regla de la suma, regla del producto
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La regla del múltiplo constante dice que un factor constante se puede sacar delante de una derivada. Para derivar c\,f(x), conserva la c y deriva f. Junto con la regla de la potencia y la regla de la suma, te permite derivar cualquier polinomio a simple vista.
Fórmula de la regla del múltiplo constante
Si c es una constante y f es derivable, entonces
Geométricamente, multiplicar una función por c estira su gráfica verticalmente por un factor c. Todas las pendientes quedan también multiplicadas por c.
Ejemplos
| Función | Derivada |
|---|---|
| 5x^3 | 5 \cdot 3x^2 = 15x^2 |
| -4\sin x | -4\cos x |
| 2e^x | 2e^x |
| \frac{x^2}{7} | \frac{2x}{7} |
| \pi x | \pi |
| \frac{3}{x^2} = 3x^{-2} | -6x^{-3} = -\frac{6}{x^3} |
Ejemplo: una constante en el denominador. La función \frac{1}{3x} tiene una variable en el denominador, así que primero reescríbela como \frac{1}{3}x^{-1}:
Ejemplo: combinada con la regla de la suma. Cada término conserva su coeficiente:
Cómo reconocer un múltiplo constante
Un múltiplo constante es cualquier factor que no cambia cuando cambia x. Búscalo en estos lugares:
- Un número delante de un término, como el 5 de 5x^3 o el -4 de -4\sin x.
- Un número en el denominador, como el 7 de \frac{x^2}{7}. Dividir entre 7 es lo mismo que multiplicar por \frac{1}{7}.
- Una constante con nombre, como \pi, e^2 o \ln 3. Parecen funciones o potencias, pero no contienen x, así que son simplemente números.
- Una letra que representa un valor fijo, como a, k o m en una fórmula de física. En \frac{d}{dx}\,k x^2 = 2kx, la k se trata exactamente igual que un número.
Si el factor contiene x en algún lugar, no es una constante, y necesitas la regla del producto o la regla del cociente.
Por qué funciona la regla del múltiplo constante
A partir de la definición de derivada como límite, la constante sale del cociente incremental y luego del límite:
El segundo paso usa la ley del múltiplo constante para límites, de las leyes de los límites.
Linealidad
La regla del múltiplo constante y la regla de la suma juntas dicen que la derivación es lineal:
para cualesquiera constantes a y b. La integración tiene la misma propiedad, y por eso \int 5x^2\,dx = 5\int x^2\,dx.
Errores comunes
- Usar la regla del producto cuando no hace falta. Para 7x^3 la regla del producto da 0 \cdot x^3 + 7 \cdot 3x^2, que es correcto pero lento. Escribe directamente 21x^2.
- Confundirla con la regla de la constante. \frac{d}{dx}\,8x = 8, no 0. Solo una constante sola se convierte en 0.
- Sacar una constante del argumento de una función. \sin(3x) no es 3\sin x. Una constante dentro de la función necesita la regla de la cadena: \frac{d}{dx}\sin(3x) = 3\cos(3x).
- Tratar una variable como constante. En x\,e^x, la x no es una constante, así que necesitas la regla del producto.
Para practicar más combinando estas reglas, consulta la guía completa sobre la regla de la potencia.
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