Faktorregel beim Ableiten: Formel und Beispiele

Die Faktorregel besagt, dass ein konstanter Faktor beim Ableiten vor die Ableitung gezogen werden kann. Um c\,f(x) abzuleiten, behältst du das c und leitest f ab. Zusammen mit der Potenzregel und der Summenregel kannst du damit jedes Polynom auf einen Blick ableiten.

Die Formel der Faktorregel

Ist c eine Konstante und f differenzierbar, dann gilt

Geometrisch streckt die Multiplikation mit c den Graphen vertikal um den Faktor c. Dabei wird auch jede Steigung mit c multipliziert.

Beispiele

Beispiel: eine Konstante im Nenner. Die Funktion \frac{1}{3x} hat eine Variable im Nenner, also schreibst du sie zuerst als \frac{1}{3}x^{-1} um:

Beispiel: kombiniert mit der Summenregel. Jeder Summand behält seinen Koeffizienten:

So erkennst du einen konstanten Faktor

Ein konstanter Faktor ist jeder Faktor, der sich nicht ändert, wenn sich x ändert. Achte auf folgende Stellen:

• Eine Zahl vor einem Term, etwa die 5 in 5x^3 oder die -4 in -4\sin x.
• Eine Zahl im Nenner, etwa die 7 in \frac{x^2}{7}. Durch 7 teilen ist dasselbe wie mit \frac{1}{7} multiplizieren.
• Eine benannte Konstante, etwa \pi, e^2 oder \ln 3. Sie sehen aus wie Funktionen oder Potenzen, enthalten aber kein x und sind deshalb einfach Zahlen.
• Ein Buchstabe für einen festen Wert, etwa a, k oder m in einer physikalischen Formel. In \frac{d}{dx}\,k x^2 = 2kx wird das k genau wie eine Zahl behandelt.

Enthält der Faktor irgendwo ein x, ist er keine Konstante, und du brauchst stattdessen die Produktregel oder die Quotientenregel.

Warum die Faktorregel gilt

Aus der Definition der Ableitung über den Grenzwert lässt sich die Konstante zuerst aus dem Differenzenquotienten und dann aus dem Grenzwert herausziehen:

Der zweite Schritt nutzt die Faktorregel für Grenzwerte aus den Grenzwertsätzen.

Linearität

Faktorregel und Summenregel zusammen besagen, dass das Ableiten linear ist:

für beliebige Konstanten a und b. Das Integrieren hat dieselbe Eigenschaft, deshalb ist \int 5x^2\,dx = 5\int x^2\,dx.

Häufige Fehler

1. Die Produktregel verwenden, obwohl sie nicht nötig ist. Für 7x^3 liefert die Produktregel 0 \cdot x^3 + 7 \cdot 3x^2, was richtig, aber umständlich ist. Schreib einfach 21x^2.
2. Verwechslung mit der Konstantenregel. \frac{d}{dx}\,8x = 8, nicht 0. Nur eine alleinstehende Konstante wird zu 0.
3. Eine Konstante aus dem Argument einer Funktion ziehen. \sin(3x) ist nicht 3\sin x. Eine Konstante im Inneren der Funktion braucht die Kettenregel: \frac{d}{dx}\sin(3x) = 3\cos(3x).
4. Eine Variable wie eine Konstante behandeln. In x\,e^x ist das x keine Konstante, also brauchst du die Produktregel.

Mehr Übung zum Kombinieren dieser Regeln findest du im vollständigen Leitfaden zur Potenzregel.