Dérivée du produit par une constante : formule et exemples
La dérivée de c·f(x) est c·f'(x). La formule du produit par une constante, des exemples corrigés, une démonstration rapide et les erreurs fréquentes.
Règles de dérivation Mis à jour Lecture : 3 min
En bref
- S'applique à
- Une constante c multipliée par une fonction dérivable f quelconque
- En mots
- On garde la constante, on dérive la fonction
- Inclut la division
- Diviser par une constante k, c'est multiplier par \frac{1}{k}
- Version intégrale
- \int c\,f(x)\,dx = c \int f(x)\,dx
- Règles liées
- Règle de la puissance, dérivée d'une somme, règle du produit
Sur cette page
La règle du produit par une constante dit qu'un facteur constant peut sortir de la dérivée. Pour dériver c\,f(x), on garde le c et on dérive f. Avec la règle de la puissance et la dérivée d'une somme, elle permet de dériver n'importe quel polynôme de tête.
La formule
Si c est une constante et f est dérivable, alors
Géométriquement, multiplier une fonction par c étire sa courbe verticalement d'un facteur c. Toutes les pentes sont elles aussi multipliées par c.
Exemples
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| 5x^3 | 5 \cdot 3x^2 = 15x^2 |
| -4\sin x | -4\cos x |
| 2e^x | 2e^x |
| \frac{x^2}{7} | \frac{2x}{7} |
| \pi x | \pi |
| \frac{3}{x^2} = 3x^{-2} | -6x^{-3} = -\frac{6}{x^3} |
Exemple : une constante au dénominateur. La fonction \frac{1}{3x} a une variable au dénominateur, on la réécrit donc d'abord sous la forme \frac{1}{3}x^{-1} :
Exemple : avec la dérivée d'une somme. Chaque terme garde son coefficient :
Reconnaître un facteur constant
Un facteur constant est un facteur qui ne change pas quand x varie. Cherchez-le aux endroits suivants :
- Un nombre devant un terme, comme le 5 dans 5x^3 ou le -4 dans -4\sin x.
- Un nombre au dénominateur, comme le 7 dans \frac{x^2}{7}. Diviser par 7 revient à multiplier par \frac{1}{7}.
- Une constante nommée, comme \pi, e^2 ou \ln 3. Elles ressemblent à des fonctions ou à des puissances, mais elles ne contiennent aucun x : ce sont simplement des nombres.
- Une lettre qui représente une valeur fixe, comme a, k ou m dans une formule de physique. Dans \frac{d}{dx}\,k x^2 = 2kx, le k est traité exactement comme un nombre.
Si le facteur contient x quelque part, ce n'est pas une constante, et il faut alors la règle du produit ou la règle du quotient.
Pourquoi la règle fonctionne
D'après la définition de la dérivée par une limite, la constante se factorise dans le taux d'accroissement, puis sort de la limite :
La deuxième étape utilise la règle du produit par une constante pour les limites, issue des opérations sur les limites.
Linéarité
La règle du produit par une constante et la dérivée d'une somme disent ensemble que la dérivation est linéaire :
pour toutes constantes a et b. L'intégration possède la même propriété, c'est pourquoi \int 5x^2\,dx = 5\int x^2\,dx.
Erreurs fréquentes
- Utiliser la règle du produit sans nécessité. Pour 7x^3, la règle du produit donne 0 \cdot x^3 + 7 \cdot 3x^2, ce qui est juste mais lent. Écrivez directement 21x^2.
- La confondre avec la dérivée d'une constante. \frac{d}{dx}\,8x = 8, et non 0. Seule une constante isolée devient 0.
- Sortir une constante de l'argument d'une fonction. \sin(3x) n'est pas 3\sin x. Une constante à l'intérieur de la fonction demande la règle de dérivation en chaîne : \frac{d}{dx}\sin(3x) = 3\cos(3x).
- Traiter une variable comme une constante. Dans x\,e^x, le x n'est pas une constante, il faut donc la règle du produit.
Pour vous entraîner à combiner ces règles, consultez le guide complet sur la règle de la puissance.
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