Fonction sinus sin(x) : courbe, dérivée, primitive et propriétés

La fonction sinus prend un angle x, mesuré en radians, et renvoie l'ordonnée y du point du cercle trigonométrique associé à cet angle. Elle produit l'onde lisse et périodique qui décrit le son, la lumière, les marées et tout ce qui oscille, et c'est l'une des deux briques de base (avec le cosinus) de toutes les autres fonctions trigonométriques.

Définition de sin x

Partez du point (1, 0) du cercle trigonométrique et parcourez une distance x dans le sens direct (dans le sens indirect si x est négatif). Vous arrivez au point (\cos x, \sin x). Ainsi

Autrement dit, le sinus est l'ordonnée du point associé à cet angle. Dans un triangle rectangle, on retrouve le rapport bien connu \sin\theta = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} (côté opposé sur hypoténuse), mais la définition par le cercle trigonométrique fonctionne pour tout réel, y compris les angles négatifs et les angles supérieurs à 2\pi.

Courbe de y = sin x

La courbe passe par l'origine, monte jusqu'à son maximum en x = \frac{\pi}{2}, revient à zéro en x = \pi, atteint son minimum en x = \frac{3\pi}{2} et termine un cycle complet en x = 2\pi.

Valeurs remarquables du sinus

Propriétés de la fonction sinus

• Domaine de définition et ensemble image. Tous les réels sont permis, et le résultat est toujours dans [-1, 1].
• Période. \sin(x + 2\pi) = \sin x. Plus généralement, A\sin(bx) a pour amplitude |A| et pour période \frac{2\pi}{|b|}.
• Zéros. \sin x = 0 exactement lorsque x = k\pi avec k entier.
• Imparité. \sin(-x) = -\sin x, donc la courbe est symétrique par rapport à l'origine.
• Relation fondamentale. \sin^2 x + \cos^2 x = 1 pour tout x.
• Relation de décalage. \sin x = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) : la sinusoïde est la courbe du cosinus décalée de \frac{\pi}{2} vers la droite.

Dérivée de sin x

On peut le lire sur la courbe : le sinus est le plus pentu (pente 1) en x = 0, où \cos 0 = 1, et horizontal à son sommet x = \frac{\pi}{2}, où \cos\frac{\pi}{2} = 0. La démonstration utilise la limite \lim_{h \to 0}\frac{\sin h}{h} = 1, c'est pourquoi les radians sont indispensables. En dérivant à nouveau, on obtient \frac{d^2}{dx^2}\sin x = -\sin x, et les dérivées successives parcourent le cycle \sin, \cos, -\sin, -\cos toutes les quatre étapes.

Avec la règle de dérivation en chaîne, \frac{d}{dx}\sin(u) = \cos(u)\cdot u'.

Primitive de sin x

On vérifie en dérivant : \frac{d}{dx}(-\cos x) = -(-\sin x) = \sin x. Sur une arche, l'aire vaut \int_0^{\pi}\sin x\,dx = -\cos\pi + \cos 0 = 2, et sur une période complète l'aire algébrique vaut \int_0^{2\pi}\sin x\,dx = 0.

Exemples corrigés

Exemple 1 : règle de dérivation en chaîne. Dériver f(x) = \sin(x^2). La fonction intérieure est x^2, de dérivée 2x, donc f'(x) = 2x\cos(x^2).

Exemple 2 : règle du produit. Dériver g(x) = x\sin x. Par la règle du produit, g'(x) = \sin x + x\cos x.

Exemple 3 : changement de variable. Calculer \int \sin(5x)\,dx. On pose u = 5x, donc du = 5\,dx :

Exemple 4 : une limite célèbre. \lim_{x \to 0}\frac{\sin(3x)}{x} = 3\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{3x} = 3 \cdot 1 = 3.

Erreurs fréquentes

1. Mauvais signe dans la primitive. \int\sin x\,dx vaut -\cos x + C, et non \cos x + C. La dérivée n'a pas de signe moins ; la primitive en a un.
2. Travailler en degrés. \frac{d}{dx}\sin x = \cos x est faux si x est en degrés. Réglez votre calculatrice en radians.
3. Traiter \sin comme une multiplication. \sin(2x) \ne 2\sin x et \sin(a + b) \ne \sin a + \sin b.
4. Confondre \sin^{-1}x avec \frac{1}{\sin x}. \sin^{-1}x désigne la fonction réciproque arc sinus, tandis que \frac{1}{\sin x} est la cosécante.

Liens du sinus avec d'autres notions

Le sinus et le cosinus définissent le reste de la famille : la tangente vaut \frac{\sin x}{\cos x}, et la sécante, la cosécante et la cotangente sont des inverses. Sa réciproque sur \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] est l'arc sinus. En Analyse 2, le sinus intervient dans le changement de variable trigonométrique et possède la série de Taylor \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots. Pour savoir dériver toutes les fonctions trigonométriques, lisez le guide sur les dérivées des fonctions trigonométriques.