Fonctions polynômes : degré, courbes, dérivées et primitives
Les fonctions polynômes : degré, terme de plus haut degré, comportement à l'infini, racines et extremums, et comment dériver et intégrer un polynôme.
Fonctions algébriques Mis à jour Lecture : 3 min
En bref
- Domaine de définition
- (-\infty, \infty)
- Dérivée
- na_nx^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + \cdots + a_1
- Primitive
- \frac{a_n}{n+1}x^{n+1} + \cdots + \frac{a_1}{2}x^2 + a_0x + C
- Continuité
- Continue et dérivable partout
- Racines réelles
- Au plus n
- Extremums locaux
- Au plus n - 1
Sur cette page
Une fonction polynôme est une somme finie de fonctions puissances à exposants entiers naturels, chacune multipliée par une constante. Les droites, les paraboles et les cubiques sont toutes des polynômes. Ce sont les fonctions les plus accueillantes de l'analyse : continues partout, lisses partout, et dérivées ou intégrées terme à terme.
Définition et formule
- Le degré est n, la plus grande puissance dont le coefficient est non nul.
- Le terme de plus haut degré est a_nx^n et le coefficient dominant est a_n.
- Le terme constant a_0 est l'ordonnée à l'origine, le point où la courbe coupe l'axe des y.
Les exposants doivent être des entiers naturels 0, 1, 2, \ldots. Ainsi x^3 - 2x est un polynôme, mais \sqrt{x}, \frac{1}{x} et 2^x n'en sont pas.
| Degré | Nom | Exemple |
|---|---|---|
| 0 | constante | 5 |
| 1 | affine | 2x - 1 |
| 2 | du second degré | x^2 + 3x |
| 3 | du troisième degré (cubique) | x^3 - 3x |
| 4 | du quatrième degré | x^4 - x^2 |
Courbe d'un polynôme
Propriétés principales
- Continue et dérivable partout. Ni trou, ni saut, ni point anguleux, ni asymptote : toute limite se calcule par substitution directe.
- Le comportement à l'infini ne dépend que du terme de plus haut degré. Degré pair avec a_n > 0 : les deux branches montent. Degré impair avec a_n > 0 : la branche gauche descend, la branche droite monte. Un a_n négatif inverse la situation.
- Racines. Un polynôme de degré n a au plus n racines réelles. Un polynôme de degré impair en a toujours au moins une, d'après le théorème des valeurs intermédiaires.
- Extremums locaux. Au plus n - 1, car f' est de degré n - 1.
Dérivée d'un polynôme
On combine la règle de la puissance, la règle du multiple constant et la règle de la somme :
Le terme constant disparaît et le degré baisse de un. Dériver n + 1 fois donne 0.
Primitive d'un polynôme
Le degré augmente de un. Les intégrales définies de polynômes se calculent toujours facilement grâce au théorème fondamental de l'analyse.
Exemples corrigés
Exemple 1 : dérivée. \frac{d}{dx}\left(4x^5 - 2x^3 + 7x - 1\right) = 20x^4 - 6x^2 + 7.
Exemple 2 : extremums locaux. Pour f(x) = x^3 - 3x, f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1), qui s'annule en x = \pm 1. Alors f(-1) = 2 est un maximum local et f(1) = -2 est un minimum local.
Exemple 3 : primitive. \int (6x^2 - 4x + 3)\,dx = 2x^3 - 2x^2 + 3x + C.
Exemple 4 : intégrale définie. \int_0^2 (x^3 - x)\,dx = \left[\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}\right]_0^2 = (4 - 2) - 0 = 2.
Erreurs fréquentes
- Dériver un produit sans développer ni utiliser la règle du produit. \frac{d}{dx}\left[(x^2 + 1)(x - 3)\right] ne vaut pas 2x \cdot 1. Développez d'abord ou utilisez la règle du produit.
- Garder le terme constant dans une dérivée. \frac{d}{dx}(x^2 + 5) = 2x, et non 2x + 5.
- Oublier le +\,C dans les intégrales indéfinies.
- Juger le comportement à l'infini d'après le premier terme écrit. Utilisez le terme de plus haut degré, où qu'il apparaisse.
Liens avec le reste du cours
Le quotient de deux polynômes donne les fonctions rationnelles. Les polynômes de Taylor approchent d'autres fonctions par des polynômes, et les séries de Taylor poussent cette idée jusqu'à une infinité de termes. Pour les règles utilisées à chaque étape, voir les fonctions puissances.
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