AP Calculus BC Unidade 10: revisão de sequências e séries infinitas

A Unidade 10 de AP Calculus, Sequências e séries infinitas (Infinite Sequences and Series), é a segunda unidade exclusiva do BC e a maior delas. Ela faz uma pergunta surpreendente: é possível somar infinitos números e obter uma resposta finita? Às vezes é. Depois usa essa ideia para escrever funções como e^x e \sin x como polinômios infinitos, que é como as calculadoras de fato as calculam.

O que a Unidade 10 cobre

O College Board divide a unidade nestes tópicos. Cada linha leva a uma lição em que você pratica com números novos a cada vez.

As ideias principais

Uma série converge quando suas somas parciais se estabilizam. Se S_N = a_1 + a_2 + \dots + a_N se aproxima de um limite finito, a série converge para esse limite. Os termos tenderem a 0 é necessário, mas não basta: a série harmônica \sum \frac{1}{n} tem termos que tendem a 0 e mesmo assim diverge.

Cada teste serve para uma forma. O teste do termo geral só prova divergência. A fórmula da série geométrica dá a soma exata. O teste da razão lida com fatoriais e exponenciais. O teste da série alternada exige termos que decrescem até 0.

Polinômios de Taylor imitam uma função perto de um ponto. O polinômio de Taylor de grau n coincide com f e com suas n primeiras derivadas em x = a. Mais termos dão um ajuste melhor em um intervalo maior.

Séries de potências convergem em um intervalo. Use o teste da razão para encontrar o raio R e depois teste cada extremo separadamente, já que o teste da razão não diz nada ali. Leia mais nos guias de testes de convergência, séries de potências e séries de Taylor, e na página do Teorema de Taylor.

Questões de exemplo

1. Série geométrica. \sum_{n=0}^{\infty} 3\left(\frac{1}{2}\right)^n tem a = 3 e r = \frac{1}{2}, então converge para \frac{3}{1 - 1/2} = 6.

2. Teste da razão. Para \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n}:

então a série converge.

3. Erro da série alternada. A série harmônica alternada 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots converge para \ln 2. Os quatro primeiros termos dão \frac{7}{12} \approx 0.583, e o erro é no máximo o termo seguinte, \frac{1}{5}. O erro real é de cerca de 0.110.

4. Intervalo de convergência. Para \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}, o teste da razão dá |x| < 1. Em x = 1 é a série harmônica, que diverge. Em x = -1 é a série harmônica alternada, que converge. O intervalo é [-1, 1).

5. Limitante de erro de Lagrange. O polinômio de Maclaurin de grau 2 de e^x dá e^{0.1} \approx 1 + 0.1 + 0.005 = 1.105. Toda derivada de e^x é e^x, que é menor que 3 em [0, 0.1], então

O valor verdadeiro é e^{0.1} \approx 1.105171, então o erro é de cerca de 0.00017.

Como estudar a Unidade 10

• Monte um fluxograma de testes. Decida em que ordem você verifica termo geral, geométrica, série p, alternada, razão e comparação, e depois pratique escolher rápido.
• Sempre teste os extremos. A questão dissertativa de intervalo de convergência dá um ponto para cada extremo, e eles costumam se comportar de forma diferente.
• Decore quatro séries de Maclaurin. e^x, \sin x, \cos x e \frac{1}{1 - x} cobrem a maior parte da prova quando você sabe fazer substituições nelas.
• Escreva o limitante de erro por completo. Mostre o M, o fatorial e a potência, não só um número.
• Resolva listas de exercícios. Experimente os exercícios de testes de convergência, os exercícios de séries de potências e os exercícios de série de Taylor, cada um com resolução completa.

Para o mapa completo do curso, veja o guia de AP Calculus BC, ou compare os dois cursos no guia de AP Calculus AB.

AP e Advanced Placement são marcas registradas do College Board, que não tem relação com o PracticeCalculus e não endossa este guia. Os nomes e pesos das unidades vêm do referencial curricular do College Board; consulte-o para ver eventuais mudanças.