AP Calculus BC unité 10 : révision des suites et des séries
Révision de l'unité 10 d'AP Calculus BC : critères de convergence, majorations d'erreur, séries de Taylor et de Maclaurin, rayon et intervalle de convergence.
Unités d'AP Calculus Mis à jour Lecture : 5 min
En bref
- Poids à l'examen AB
- Absente de l'examen AB
- Poids à l'examen BC
- 15–20 %
- Idées clés
- Critères de convergence, polynômes de Taylor, majorations d'erreur, séries entières
- BC uniquement
- Toute l'unité
- Après
- L'unité 9, fonctions paramétriques, polaires et vectorielles
- S'entraîner ici
- Analyse 2 : suites et séries
Sur cette page
L'unité 10 d'AP Calculus, suites et séries (Infinite Sequences and Series), est la seconde unité propre au BC et la plus importante. Elle pose une question surprenante : peut-on additionner une infinité de nombres et obtenir un résultat fini ? Parfois, oui. Elle utilise ensuite cette idée pour écrire des fonctions comme e^x et \sin x sous forme de polynômes infinis, ce qui est la façon dont les calculatrices les calculent réellement.
| AP Calculus AB | AP Calculus BC | |
|---|---|---|
| Poids à l'examen | absente de l'examen AB | 15–20 % (BC uniquement) |
| Notions en plus | aucune | toute l'unité est propre au BC |
Ce que couvre l'unité 10
Le College Board découpe l'unité en ces notions. Chaque ligne renvoie à une leçon où vous pouvez vous entraîner avec de nouveaux nombres à chaque fois.
| Notion | Ce que vous apprenez | Entraînement |
|---|---|---|
| Séries convergentes et divergentes | Sommes partielles et sens de la convergence | Séries et sommes partielles |
| Séries géométriques | \sum ar^n = \frac{a}{1 - r} pour \lvert r\rvert < 1 | Séries géométriques |
| Critère du terme général | Si a_n \not\to 0, la série diverge | Critère du terme général |
| Critère de l'intégrale, série harmonique et séries de Riemann | \sum \frac{1}{n^p} converge seulement quand p > 1 | Critère de l'intégrale et séries de Riemann |
| Critères de comparaison | Comparaison directe et par passage à la limite | Critères de comparaison |
| Critère des séries alternées | Des termes décroissants qui tendent vers 0 | Séries alternées |
| Critère de d'Alembert | Utiliser \lim \left\lvert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\rvert | Critères de d'Alembert et de Cauchy |
| Convergence absolue et semi-convergence | Savoir si \sum \lvert a_n\rvert converge aussi | Choisir un critère |
| Majoration de l'erreur pour une série alternée | L'erreur est au plus le premier terme omis | Séries alternées |
| Polynômes de Taylor | Approcher une fonction près d'un point | Polynômes de Taylor |
| Majoration de Lagrange | Majorer l'erreur d'une approximation de Taylor | Estimer avec Taylor |
| Rayon et intervalle de convergence | Le critère de d'Alembert plus l'étude des bornes | Séries entières et rayon |
| Séries de Taylor et de Maclaurin | Construire les séries de e^x, \sin x, \cos x et \frac{1}{1 - x} | Séries de Maclaurin |
| Représenter des fonctions par des séries entières | Substituer, dériver et intégrer des séries | Séries de Maclaurin |
Les idées clés
Une série converge quand ses sommes partielles se stabilisent. Si S_N = a_1 + a_2 + \dots + a_N tend vers une limite finie, la série converge vers cette limite. Que les termes tendent vers 0 est nécessaire mais pas suffisant : la série harmonique \sum \frac{1}{n} a des termes qui tendent vers 0, et pourtant elle diverge.
Chaque critère correspond à une forme. Le critère du terme général ne prouve que la divergence. La formule de la série géométrique donne une somme exacte. Le critère de d'Alembert traite les factorielles et les exponentielles. Le critère des séries alternées exige des termes qui décroissent vers 0.
Les polynômes de Taylor collent à une fonction près d'un point. Le polynôme de Taylor de degré n coïncide avec f et ses n premières dérivées en x = a. Plus de termes donnent une meilleure approximation sur un intervalle plus large.
Les séries entières convergent sur un intervalle. Utilisez le critère de d'Alembert pour trouver le rayon R, puis étudiez chaque borne séparément, car le critère ne dit rien en ces points. Pour aller plus loin, lisez les guides sur les critères de convergence, les séries entières et les séries de Taylor, ainsi que la page sur le théorème de Taylor.
Exemples de questions
1. Série géométrique. \sum_{n=0}^{\infty} 3\left(\frac{1}{2}\right)^n a pour premier terme a = 3 et pour raison r = \frac{1}{2}, donc elle converge vers \frac{3}{1 - 1/2} = 6.
2. Critère de d'Alembert. Pour \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n} :
donc la série converge.
3. Erreur pour une série alternée. La série harmonique alternée 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots converge vers \ln 2. Les quatre premiers termes donnent \frac{7}{12} \approx 0.583, et l'erreur est au plus le terme suivant, \frac{1}{5}. L'erreur réelle vaut environ 0.110.
4. Intervalle de convergence. Pour \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}, le critère de d'Alembert donne |x| < 1. En x = 1, c'est la série harmonique, qui diverge. En x = -1, c'est la série harmonique alternée, qui converge. L'intervalle est [-1, 1).
5. Majoration de Lagrange. Le polynôme de Maclaurin de degré 2 de e^x donne e^{0.1} \approx 1 + 0.1 + 0.005 = 1.105. Toutes les dérivées de e^x valent e^x, qui est inférieur à 3 sur [0, 0.1], donc
La vraie valeur est e^{0.1} \approx 1.105171, donc l'erreur vaut environ 0.00017.
Comment réviser l'unité 10
- Faites un organigramme des critères. Décidez dans quel ordre vous testez le terme général, la série géométrique, les séries de Riemann, les séries alternées, d'Alembert et la comparaison, puis entraînez-vous à choisir vite.
- Étudiez toujours les bornes. La question à réponse rédigée sur l'intervalle de convergence donne un point par borne, et elles se comportent souvent différemment.
- Apprenez quatre séries de Maclaurin par cœur. e^x, \sin x, \cos x et \frac{1}{1 - x} couvrent la plus grande partie de l'examen dès que vous savez y substituer.
- Écrivez la majoration d'erreur en entier. Montrez M, la factorielle et la puissance, pas seulement un nombre.
- Travaillez des séries d'exercices. Essayez les exercices sur les critères de convergence, les exercices sur les séries entières et les exercices sur les séries de Taylor, tous avec solutions complètes.
Pour le plan complet du cours, consultez le guide AP Calculus BC, ou comparez les deux cours avec le guide AP Calculus AB.
AP et Advanced Placement sont des marques déposées du College Board, qui n'est pas affilié à PracticeCalculus et ne cautionne pas ce guide. Les noms et les poids des unités proviennent du cadre de cours du College Board ; consultez-le pour toute modification.
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