Derivada de 2ˣ e aˣ: fórmula, demonstração e exemplos
A derivada de 2ˣ é 2ˣ ln 2, e a de aˣ é aˣ ln a. Veja a demonstração escrevendo aˣ como e^(x ln a), exemplos com a regra da cadeia e o gráfico.
Derivadas exponenciais e logarítmicas Atualizado 2 min de leitura
Visão geral
- Derivada de 2ˣ
- 2^x\ln 2 \approx 0.693\cdot 2^x
- Base qualquer
- \dfrac{d}{dx}a^x = a^x\ln a para a > 0
- Com a regra da cadeia
- \dfrac{d}{dx}a^u = a^u\ln a\cdot u'
- Reescrita-chave
- a^x = e^{x\ln a}
- Versão para integrais
- \int 2^x\,dx = \dfrac{2^x}{\ln 2} + C
Nesta página
A derivada de 2^x é 2^x\ln 2. O mesmo padrão vale para toda base positiva:
Como \ln 2 \approx 0.693, a inclinação de 2^x é sempre cerca de 69\% da sua altura.
Gráfico de 2ˣ e de sua derivada
Demonstração: reescrever na base e
Qualquer base positiva pode ser escrita como uma potência de e, porque a = e^{\ln a}:
Agora \ln a é apenas uma constante, então a regra da cadeia junto com a derivada de eˣ dá
Para a = 2 isso é 2^x\ln 2. Para a = e é e^x\ln e = e^x, e é por isso que e é a base natural: é a única base sem fator extra.
O tamanho do fator ln a
| Base a | \ln a | Derivada de a^x |
|---|---|---|
| 2 | \approx 0.693 | 2^x\ln 2 |
| e | 1 | e^x |
| 3 | \approx 1.099 | 3^x\ln 3 |
| 10 | \approx 2.303 | 10^x\ln 10 |
| \frac{1}{2} | \approx -0.693 | -\left(\frac{1}{2}\right)^x\ln 2 |
Para 0 < a < 1, \ln a é negativo, então a^x é decrescente. Isso corresponde ao gráfico do decaimento exponencial.
Versão com a regra da cadeia e exemplos
Exemplo 1. \frac{d}{dx}2^{3x} = 2^{3x}\ln 2\cdot 3 = 3\ln 2\cdot 2^{3x}.
Exemplo 2. \frac{d}{dx}3^{x^2} = 3^{x^2}\ln 3\cdot 2x = 2x\ln 3\cdot 3^{x^2}.
Exemplo 3. \frac{d}{dx}2^{-x} = -2^{-x}\ln 2.
Exemplo 4: regra do produto. Para f(x) = x\cdot 2^x, a regra do produto dá
Exemplo 5: taxa de crescimento. Uma população P(t) = 500\cdot 2^t dobra a cada unidade de tempo. Sua taxa de crescimento em t = 3 é P'(3) = 500\cdot 8\ln 2 \approx 2773 por unidade de tempo.
2ˣ versus x²
| Função | Base | Expoente | Regra | Derivada |
|---|---|---|---|---|
| x^2 | variável | constante | regra da potência | 2x |
| 2^x | constante | variável | regra da exponencial | 2^x\ln 2 |
| x^x | variável | variável | derivação logarítmica | x^x(\ln x + 1) |
Quando base e expoente variam ao mesmo tempo, nenhuma das duas regras funciona sozinha. Veja a derivada de xˣ.
Erros comuns
- Usar a regra da potência: x\cdot 2^{x-1}. É a regra errada para um expoente variável.
- Esquecer o \ln 2. Isso só estaria certo para a base e.
- Escrever \log 2 em vez de \ln 2. O fator é o logaritmo natural.
O caminho inverso, \int 2^x\,dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C, está na página da integral de 2ˣ. A função inversa, \log_2 x, é tratada na página da derivada de log x. Veja também funções exponenciais.
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