Derivada de 2ˣ y aˣ: fórmula, demostración y ejemplos
La derivada de 2ˣ es 2ˣ ln 2, y la de aˣ es aˣ ln a. Demostración reescribiendo aˣ como e^(x ln a), ejemplos con la regla de la cadena y gráfica.
Derivadas exponenciales y logarítmicas Actualizado 2 min de lectura
De un vistazo
- Derivada de 2ˣ
- 2^x\ln 2 \approx 0.693\cdot 2^x
- Base general
- \dfrac{d}{dx}a^x = a^x\ln a para a > 0
- Con la regla de la cadena
- \dfrac{d}{dx}a^u = a^u\ln a\cdot u'
- Reescritura clave
- a^x = e^{x\ln a}
- Versión para integrales
- \int 2^x\,dx = \dfrac{2^x}{\ln 2} + C
En esta página
La derivada de 2^x es 2^x\ln 2. El mismo patrón funciona para cualquier base positiva:
Como \ln 2 \approx 0.693, la pendiente de 2^x siempre es aproximadamente el 69\% de su altura.
Gráfica de 2ˣ y de su derivada
Demostración: reescribir con base e
Cualquier base positiva se puede escribir como una potencia de e, porque a = e^{\ln a}:
Ahora \ln a es solo una constante, así que la regla de la cadena junto con la derivada de eˣ da
Para a = 2 esto es 2^x\ln 2. Para a = e es e^x\ln e = e^x, y por eso e es la base natural: es la única base sin factor extra.
El tamaño del factor ln a
| Base a | \ln a | Derivada de a^x |
|---|---|---|
| 2 | \approx 0.693 | 2^x\ln 2 |
| e | 1 | e^x |
| 3 | \approx 1.099 | 3^x\ln 3 |
| 10 | \approx 2.303 | 10^x\ln 10 |
| \frac{1}{2} | \approx -0.693 | -\left(\frac{1}{2}\right)^x\ln 2 |
Para 0 < a < 1, \ln a es negativo, así que a^x es decreciente. Eso coincide con la gráfica del decrecimiento exponencial.
Versión con la regla de la cadena y ejemplos
Ejemplo 1. \frac{d}{dx}2^{3x} = 2^{3x}\ln 2\cdot 3 = 3\ln 2\cdot 2^{3x}.
Ejemplo 2. \frac{d}{dx}3^{x^2} = 3^{x^2}\ln 3\cdot 2x = 2x\ln 3\cdot 3^{x^2}.
Ejemplo 3. \frac{d}{dx}2^{-x} = -2^{-x}\ln 2.
Ejemplo 4: regla del producto. Para f(x) = x\cdot 2^x, la regla del producto da
Ejemplo 5: tasa de crecimiento. Una población P(t) = 500\cdot 2^t se duplica en cada unidad de tiempo. Su tasa de crecimiento en t = 3 es P'(3) = 500\cdot 8\ln 2 \approx 2773 por unidad de tiempo.
2ˣ frente a x²
| Función | Base | Exponente | Regla | Derivada |
|---|---|---|---|---|
| x^2 | variable | constante | regla de la potencia | 2x |
| 2^x | constante | variable | regla de la exponencial | 2^x\ln 2 |
| x^x | variable | variable | derivación logarítmica | x^x(\ln x + 1) |
Cuando varían tanto la base como el exponente, ninguna de las dos reglas sirve por sí sola. Consulta la derivada de xˣ.
Errores comunes
- Usar la regla de la potencia: x\cdot 2^{x-1}. Es la regla equivocada para un exponente variable.
- Omitir \ln 2. Eso solo sería correcto para la base e.
- Escribir \log 2 en lugar de \ln 2. El factor es el logaritmo natural.
La operación inversa, \int 2^x\,dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C, está en la página de la integral de 2ˣ. La función inversa, \log_2 x, se trata en la página de la derivada de log x. Consulta también las funciones exponenciales.
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