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Derivadas das trigonométricas inversas

Derivada de arccotg x: fórmula, demonstração e exemplos

A derivada de arccotg x é −1/(1 + x²). Veja a demonstração a partir de cotg y = x, a relação com o arctg, exemplos com a regra da cadeia e o gráfico.

Derivadas das trigonométricas inversas Atualizado 2 min de leitura

Visão geral

\frac{d}{dx}\,\operatorname{arccot} x = -\frac{1}{1 + x^2}
Derivada
-\dfrac{1}{1 + x^2} para todo x real
Com a regra da cadeia
\dfrac{d}{dx}\operatorname{arccot} u = -\dfrac{u'}{1 + u^2}
Domínio de arccotg x
todos os números reais
Imagem de arccotg x
(0, \pi)
Identidade-chave
\operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2} - \arctan x
Nesta página
  1. Gráfico de arccotg x e de sua derivada
  2. Demonstração a partir de cotg y = x
  3. Demonstração a partir do arctg
  4. Uma observação sobre convenções
  5. Versão com a regra da cadeia e exemplos
  6. Erros comuns

A derivada de \operatorname{arccot} x é -\dfrac{1}{1 + x^2}. Ela é a derivada de arctg x com um sinal de menos, e vale para todo número real.

\frac{d}{dx}\,\operatorname{arccot} x = -\frac{1}{1 + x^2}

Gráfico de arccotg x e de sua derivada

Gráfico de y = arccotg x e de sua derivada
O arco cotangente cai de \pi em direção a 0. Sua inclinação é -1 em x = 0 e tende a 0 longe da origem.

Demonstração a partir de cotg y = x

Seja y = \operatorname{arccot} x, então \cot y = x com 0 < y < \pi. Derive usando derivação implícita, com \frac{d}{dy}\cot y = -\csc^2 y (veja a derivada de cotg x):

-\csc^2 y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\csc^2 y}

A identidade \csc^2 y = 1 + \cot^2 y = 1 + x^2 conclui:

\frac{d}{dx}\operatorname{arccot} x = -\frac{1}{1 + x^2}

Demonstração a partir do arctg

Com imagem (0, \pi), arccotg e arctg se relacionam por

\operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2} - \arctan x

A derivada da constante \frac{\pi}{2} é 0, então a derivada da arccotg é simplesmente menos a derivada do arctg. Essa identidade também é a forma como o gráfico acima foi desenhado.

Uma observação sobre convenções

Alguns livros e programas definem \operatorname{arccot} x = \arctan\frac{1}{x}, que tem imagem \left(-\frac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right] e dá um salto em x = 0. A derivada continua a mesma onde quer que a função esteja definida:

\frac{d}{dx}\arctan\frac{1}{x} = \frac{-1/x^2}{1 + 1/x^2} = -\frac{1}{x^2 + 1}

Portanto a fórmula pode ser usada com segurança nos dois casos. Só os valores da função mudam.

Versão com a regra da cadeia e exemplos

\frac{d}{dx}\operatorname{arccot} u = -\frac{u'}{1 + u^2}
Função Derivada
\operatorname{arccot}(3x) -\frac{3}{1 + 9x^2}
\operatorname{arccot}(x^2) -\frac{2x}{1 + x^4}
\operatorname{arccot}(\ln x) -\frac{1}{x(1 + \ln^2 x)}
\operatorname{arccot}(e^x) -\frac{e^x}{1 + e^{2x}}

Exemplo resolvido. Derive f(x) = x\operatorname{arccot} x com a regra do produto:

f'(x) = \operatorname{arccot} x - \frac{x}{1 + x^2}

Em x = 1: \operatorname{arccot} 1 = \frac{\pi}{4}, então f'(1) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \approx 0.285.

Erros comuns

  1. Escrever -\csc^2 x. Essa é a derivada de \cot x, não da inversa.
  2. Perder o sinal de menos. A arccotg é decrescente, então sua inclinação tem de ser negativa.
  3. Esquecer o u'. \operatorname{arccot}(5x) dá -\frac{5}{1 + 25x^2}.
  4. Achar que a integral precisa da arccotg. Como as derivadas diferem só no sinal, \int \frac{dx}{1 + x^2} costuma ser escrita como \arctan x + C. A resposta -\operatorname{arccot} x + C também está correta, porque as duas diferem por uma constante.

As seis derivadas das trigonométricas inversas vêm em pares: arcsen e arccos, arctg e arccotg, arcsec e arccossec. A segunda de cada par tem um sinal de menos. Pratique com os exercícios de derivadas de trigonométricas inversas.

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Derivadas das trigonométricas inversas

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Perguntas frequentes

Qual é a derivada de arccotg x?
A derivada de \operatorname{arccot} x (também escrito \cot^{-1} x) é -\frac{1}{1 + x^2}.

Qual é a derivada de arccotg(2x)?
Pela regra da cadeia, é -\frac{2}{1 + 4x^2}.

arccotg x é igual a arctg(1/x)?
Só para x > 0. Para x < 0 elas diferem por \pi. De qualquer forma, onde as duas estão definidas, têm a mesma derivada, -\frac{1}{1 + x^2}.

Qual é a derivada de arctg x + arccotg x?
É 0, já que a soma é a constante \frac{\pi}{2}.

Escrito pela equipe do PracticeCalculus

Criamos lições interativas de cálculo e escrevemos cada página para ser clara e correta. Viu algo errado? Avise e nós corrigimos.

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