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Ableitungen der Arkusfunktionen

Ableitung von arccot x: Formel, Beweis und Beispiele

Die Ableitung von arccot x ist −1/(1 + x²). Mit Beweis aus cot y = x, dem Zusammenhang mit arctan, Beispielen zur Kettenregel und einem Graphen.

Ableitungen der Arkusfunktionen Aktualisiert 2 Min. Lesezeit

Auf einen Blick

\frac{d}{dx}\,\operatorname{arccot} x = -\frac{1}{1 + x^2}
Ableitung
-\dfrac{1}{1 + x^2} für jedes reelle x
Mit Kettenregel
\dfrac{d}{dx}\operatorname{arccot} u = -\dfrac{u'}{1 + u^2}
Definitionsbereich von arccot x
alle reellen Zahlen
Wertebereich von arccot x
(0, \pi)
Wichtige Identität
\operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2} - \arctan x
Auf dieser Seite
  1. Graph von arccot x und seiner Ableitung
  2. Beweis aus cot y = x
  3. Beweis über arctan
  4. Ein Hinweis zu Konventionen
  5. Mit der Kettenregel und Beispiele
  6. Typische Fehler

Die Ableitung von \operatorname{arccot} x ist -\dfrac{1}{1 + x^2}. Sie ist die Ableitung von arctan x mit einem Minuszeichen und gilt für jede reelle Zahl.

\frac{d}{dx}\,\operatorname{arccot} x = -\frac{1}{1 + x^2}

Graph von arccot x und seiner Ableitung

Graph von y = arccot x und seiner Ableitung
Der Arkuskotangens fällt von \pi in Richtung 0. Seine Steigung ist -1 bei x = 0 und geht weit weg vom Ursprung gegen 0.

Beweis aus cot y = x

Sei y = \operatorname{arccot} x, also \cot y = x mit 0 < y < \pi. Leite mit implizitem Differenzieren ab und nutze \frac{d}{dy}\cot y = -\csc^2 y (siehe die Ableitung von cot x):

-\csc^2 y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\csc^2 y}

Die Identität \csc^2 y = 1 + \cot^2 y = 1 + x^2 schließt den Beweis ab:

\frac{d}{dx}\operatorname{arccot} x = -\frac{1}{1 + x^2}

Beweis über arctan

Mit dem Wertebereich (0, \pi) hängen arccot und arctan so zusammen:

\operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2} - \arctan x

Die Ableitung der Konstanten \frac{\pi}{2} ist 0, also ist die Ableitung von arccot einfach minus die Ableitung von arctan. Mit genau dieser Identität ist auch der Graph oben gezeichnet.

Ein Hinweis zu Konventionen

Manche Bücher und Programme definieren \operatorname{arccot} x = \arctan\frac{1}{x}. Diese Version hat den Wertebereich \left(-\frac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right] und springt bei x = 0. Die Ableitung ist trotzdem überall dort dieselbe, wo die Funktion definiert ist:

\frac{d}{dx}\arctan\frac{1}{x} = \frac{-1/x^2}{1 + 1/x^2} = -\frac{1}{x^2 + 1}

Du kannst die Formel also in beiden Fällen bedenkenlos verwenden. Nur die Funktionswerte unterscheiden sich.

Mit der Kettenregel und Beispiele

\frac{d}{dx}\operatorname{arccot} u = -\frac{u'}{1 + u^2}
Funktion Ableitung
\operatorname{arccot}(3x) -\frac{3}{1 + 9x^2}
\operatorname{arccot}(x^2) -\frac{2x}{1 + x^4}
\operatorname{arccot}(\ln x) -\frac{1}{x(1 + \ln^2 x)}
\operatorname{arccot}(e^x) -\frac{e^x}{1 + e^{2x}}

Rechenbeispiel. Leite f(x) = x\operatorname{arccot} x mit der Produktregel ab:

f'(x) = \operatorname{arccot} x - \frac{x}{1 + x^2}

Bei x = 1: \operatorname{arccot} 1 = \frac{\pi}{4}, also f'(1) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \approx 0.285.

Typische Fehler

  1. -\csc^2 x schreiben. Das ist die Ableitung von \cot x, nicht die der Umkehrfunktion.
  2. Das Minuszeichen verlieren. Der Arkuskotangens fällt, also muss seine Steigung negativ sein.
  3. u' vergessen. \operatorname{arccot}(5x) ergibt -\frac{5}{1 + 25x^2}.
  4. Glauben, das Integral bräuchte arccot. Da sich die Ableitungen nur im Vorzeichen unterscheiden, schreibt man \int \frac{dx}{1 + x^2} meist als \arctan x + C. Die Antwort -\operatorname{arccot} x + C ist ebenfalls richtig, denn beide unterscheiden sich nur um eine Konstante.

Alle sechs Ableitungen der Arkusfunktionen treten paarweise auf: arcsin und arccos, arctan und arccot, arcsec und arccsc. Die zweite Funktion jedes Paares hat ein Minuszeichen. Übe sie mit Aufgaben zu Ableitungen der Arkusfunktionen.

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Häufig gestellte Fragen

Was ist die Ableitung von arccot x?
Die Ableitung von \operatorname{arccot} x (auch \cot^{-1} x geschrieben) ist -\frac{1}{1 + x^2}.

Was ist die Ableitung von arccot(2x)?
Mit der Kettenregel ist sie -\frac{2}{1 + 4x^2}.

Ist arccot x gleich arctan(1/x)?
Nur für x > 0. Für x < 0 unterscheiden sie sich um \pi. Wo beide definiert sind, haben sie aber in jedem Fall dieselbe Ableitung -\frac{1}{1 + x^2}.

Was ist die Ableitung von arctan x + arccot x?
Sie ist 0, denn die Summe ist die Konstante \frac{\pi}{2}.

Geschrieben vom PracticeCalculus-Team

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