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Dérivées des fonctions trigonométriques réciproques

Dérivée de arccot x : formule, démonstration et exemples

La dérivée de arccot x est −1/(1 + x²). Démonstration à partir de cot y = x, lien avec arctan, exemples de dérivation en chaîne et courbe.

Dérivées des fonctions trigonométriques réciproques Mis à jour Lecture : 2 min

En bref

\frac{d}{dx}\,\operatorname{arccot} x = -\frac{1}{1 + x^2}
Dérivée
-\dfrac{1}{1 + x^2} pour tout réel x
Forme composée
\dfrac{d}{dx}\operatorname{arccot} u = -\dfrac{u'}{1 + u^2}
Domaine de définition de arccot x
tous les réels
Ensemble image de arccot x
(0, \pi)
Identité clé
\operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2} - \arctan x
Sur cette page
  1. Courbe de arccot x et de sa dérivée
  2. Démonstration à partir de cot y = x
  3. Démonstration à partir de arctan
  4. Remarque sur les conventions
  5. Version composée et exemples
  6. Erreurs fréquentes

La dérivée de \operatorname{arccot} x est -\dfrac{1}{1 + x^2}. C'est la dérivée de arctan x avec un signe moins, et elle est valable pour tout nombre réel.

\frac{d}{dx}\,\operatorname{arccot} x = -\frac{1}{1 + x^2}

Courbe de arccot x et de sa dérivée

Courbe de y = arccot x et de sa dérivée
La fonction arccotangente descend de \pi vers 0. Sa pente vaut -1 en x = 0 et tend vers 0 loin de l'origine.

Démonstration à partir de cot y = x

Posons y = \operatorname{arccot} x, donc \cot y = x avec 0 < y < \pi. On dérive par dérivation implicite, en utilisant \frac{d}{dy}\cot y = -\csc^2 y (voir la dérivée de cot x) :

-\csc^2 y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\csc^2 y}

L'identité \csc^2 y = 1 + \cot^2 y = 1 + x^2 permet de conclure :

\frac{d}{dx}\operatorname{arccot} x = -\frac{1}{1 + x^2}

Démonstration à partir de arctan

Avec l'ensemble image (0, \pi), arccot et arctan sont liées par

\operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2} - \arctan x

La dérivée de la constante \frac{\pi}{2} vaut 0, donc la dérivée de arccot est simplement l'opposé de celle de arctan. C'est aussi grâce à cette identité que la courbe ci-dessus est tracée.

Remarque sur les conventions

Certains manuels et logiciels définissent \operatorname{arccot} x = \arctan\frac{1}{x}, qui a pour ensemble image \left(-\frac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right] et présente un saut en x = 0. La dérivée reste la même partout où la fonction est définie :

\frac{d}{dx}\arctan\frac{1}{x} = \frac{-1/x^2}{1 + 1/x^2} = -\frac{1}{x^2 + 1}

La formule peut donc s'utiliser dans les deux cas. Seules les valeurs de la fonction diffèrent.

Version composée et exemples

\frac{d}{dx}\operatorname{arccot} u = -\frac{u'}{1 + u^2}
Fonction Dérivée
\operatorname{arccot}(3x) -\frac{3}{1 + 9x^2}
\operatorname{arccot}(x^2) -\frac{2x}{1 + x^4}
\operatorname{arccot}(\ln x) -\frac{1}{x(1 + \ln^2 x)}
\operatorname{arccot}(e^x) -\frac{e^x}{1 + e^{2x}}

Exemple corrigé. Dérivons f(x) = x\operatorname{arccot} x avec la règle du produit :

f'(x) = \operatorname{arccot} x - \frac{x}{1 + x^2}

En x = 1 : \operatorname{arccot} 1 = \frac{\pi}{4}, donc f'(1) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \approx 0.285.

Erreurs fréquentes

  1. Écrire -\csc^2 x. C'est la dérivée de \cot x, pas celle de sa réciproque.
  2. Perdre le signe moins. Arccot est décroissante, donc sa pente doit être négative.
  3. Oublier u'. \operatorname{arccot}(5x) donne -\frac{5}{1 + 25x^2}.
  4. Croire que l'intégrale exige arccot. Comme les dérivées ne diffèrent que par le signe, on écrit en général \int \frac{dx}{1 + x^2} sous la forme \arctan x + C. La réponse -\operatorname{arccot} x + C est aussi correcte, car les deux diffèrent d'une constante.

Les six dérivées des fonctions trigonométriques réciproques vont par paires : arcsin et arccos, arctan et arccot, arcsec et arccsc. La seconde de chaque paire porte un signe moins. Entraînez-vous avec les exercices sur les dérivées des fonctions trigonométriques réciproques.

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Questions fréquentes

Quelle est la dérivée de arccot x ?
La dérivée de \operatorname{arccot} x (aussi notée \cot^{-1} x) est -\frac{1}{1 + x^2}.

Quelle est la dérivée de arccot(2x) ?
Par la règle de dérivation en chaîne, c'est -\frac{2}{1 + 4x^2}.

arccot x est-il égal à arctan(1/x) ?
Seulement pour x > 0. Pour x < 0, ils diffèrent de \pi. Dans tous les cas, là où les deux sont définis, ils ont la même dérivée, -\frac{1}{1 + x^2}.

Quelle est la dérivée de arctan x + arccot x ?
C'est 0, puisque la somme est la constante \frac{\pi}{2}.

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