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Derivadas de trigonométricas inversas

Derivada de arccot x: fórmula, demostración y ejemplos

La derivada de arccot x es −1/(1 + x²). Demostración a partir de cot y = x, relación con arctan, ejemplos con la regla de la cadena y gráfica.

Derivadas de trigonométricas inversas Actualizado 2 min de lectura

De un vistazo

\frac{d}{dx}\,\operatorname{arccot} x = -\frac{1}{1 + x^2}
Derivada
-\dfrac{1}{1 + x^2} para todo x real
Con la regla de la cadena
\dfrac{d}{dx}\operatorname{arccot} u = -\dfrac{u'}{1 + u^2}
Dominio de arccot x
todos los números reales
Recorrido de arccot x
(0, \pi)
Identidad clave
\operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2} - \arctan x
En esta página
  1. Gráfica de arccot x y de su derivada
  2. Demostración a partir de cot y = x
  3. Demostración a partir de arctan
  4. Una nota sobre convenciones
  5. Versión con la regla de la cadena y ejemplos
  6. Errores comunes

La derivada de \operatorname{arccot} x es -\dfrac{1}{1 + x^2}. Es la derivada de arctan x con un signo menos, y es válida para todo número real.

\frac{d}{dx}\,\operatorname{arccot} x = -\frac{1}{1 + x^2}

Gráfica de arccot x y de su derivada

Gráfica de y = arccot x y de su derivada
La arcocotangente baja de \pi hacia 0. Su pendiente es -1 en x = 0 y se desvanece hasta 0 lejos del origen.

Demostración a partir de cot y = x

Sea y = \operatorname{arccot} x, de modo que \cot y = x con 0 < y < \pi. Deriva con derivación implícita, usando \frac{d}{dy}\cot y = -\csc^2 y (consulta la derivada de cot x):

-\csc^2 y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\csc^2 y}

La identidad \csc^2 y = 1 + \cot^2 y = 1 + x^2 termina la demostración:

\frac{d}{dx}\operatorname{arccot} x = -\frac{1}{1 + x^2}

Demostración a partir de arctan

Con el recorrido (0, \pi), arccot y arctan están relacionadas por

\operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2} - \arctan x

La derivada de la constante \frac{\pi}{2} es 0, así que la derivada de arccot es simplemente menos la derivada de arctan. Esta identidad es también la que se usa para dibujar la gráfica de arriba.

Una nota sobre convenciones

Algunos libros y programas definen \operatorname{arccot} x = \arctan\frac{1}{x}, que tiene recorrido \left(-\frac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right] y da un salto en x = 0. La derivada sigue saliendo igual en todos los puntos donde la función está definida:

\frac{d}{dx}\arctan\frac{1}{x} = \frac{-1/x^2}{1 + 1/x^2} = -\frac{1}{x^2 + 1}

Así que puedes usar la fórmula con cualquiera de las dos convenciones. Solo cambian los valores de la función.

Versión con la regla de la cadena y ejemplos

\frac{d}{dx}\operatorname{arccot} u = -\frac{u'}{1 + u^2}
Función Derivada
\operatorname{arccot}(3x) -\frac{3}{1 + 9x^2}
\operatorname{arccot}(x^2) -\frac{2x}{1 + x^4}
\operatorname{arccot}(\ln x) -\frac{1}{x(1 + \ln^2 x)}
\operatorname{arccot}(e^x) -\frac{e^x}{1 + e^{2x}}

Ejemplo resuelto. Deriva f(x) = x\operatorname{arccot} x con la regla del producto:

f'(x) = \operatorname{arccot} x - \frac{x}{1 + x^2}

En x = 1: \operatorname{arccot} 1 = \frac{\pi}{4}, así que f'(1) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \approx 0.285.

Errores comunes

  1. Escribir -\csc^2 x. Esa es la derivada de \cot x, no de su inversa.
  2. Perder el signo menos. La arcocotangente es decreciente, así que su pendiente tiene que ser negativa.
  3. Olvidar u'. \operatorname{arccot}(5x) da -\frac{5}{1 + 25x^2}.
  4. Suponer que la integral necesita arccot. Como las derivadas solo difieren en el signo, \int \frac{dx}{1 + x^2} se suele escribir como \arctan x + C. La respuesta -\operatorname{arccot} x + C también es correcta, porque las dos difieren en una constante.

Las seis derivadas de las trigonométricas inversas vienen en parejas: arcsen y arccos, arctan y arccot, arcsec y arccsc. La segunda de cada pareja lleva un signo menos. Practícalas con ejercicios de derivadas de trigonométricas inversas.

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Preguntas frecuentes

¿Cuál es la derivada de arccot x?
La derivada de \operatorname{arccot} x (que también se escribe \cot^{-1} x) es -\frac{1}{1 + x^2}.

¿Cuál es la derivada de arccot(2x)?
Por la regla de la cadena es -\frac{2}{1 + 4x^2}.

¿Es arccot x igual a arctan(1/x)?
Solo para x > 0. Para x < 0 difieren en \pi. En cualquier caso, donde ambas están definidas tienen la misma derivada, -\frac{1}{1 + x^2}.

¿Cuál es la derivada de arctan x + arccot x?
Es 0, ya que la suma es la constante \frac{\pi}{2}.

Escrito por el equipo de PracticeCalculus

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