Derivada de e^(2x): fórmula, passo a passo e exemplos
A derivada de e^(2x) é 2e^(2x). Veja os passos com a regra da cadeia, uma segunda demonstração com (eˣ)², derivadas de ordem superior e exemplos.
Derivadas exponenciais e logarítmicas Atualizado 2 min de leitura
Visão geral
- Derivada
- 2e^{2x}
- Derivada segunda
- 4e^{2x}
- Derivada de ordem n
- 2^n e^{2x}
- Forma geral
- \dfrac{d}{dx}e^{kx} = ke^{kx}
- Versão para integrais
- \int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C
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A derivada de e^{2x} é 2e^{2x}. A exponencial continua exatamente a mesma, e a derivada do expoente, 2, vai para a frente.
Passo a passo com a regra da cadeia
Escreva e^{2x} como uma função de fora e^u com função de dentro u = 2x. A regra da cadeia diz que
- A derivada de fora: a derivada de eˣ é ela mesma, então e^u continua sendo e^{2x}.
- A derivada de dentro: \frac{d}{dx}(2x) = 2.
- Multiplique: e^{2x}\cdot 2 = 2e^{2x}.
Os mesmos passos dão a regra geral \frac{d}{dx}e^{kx} = ke^{kx}. Por exemplo, \frac{d}{dx}e^{5x} = 5e^{5x} e \frac{d}{dx}e^{x/3} = \frac{1}{3}e^{x/3}.
Uma segunda demonstração sem a regra da cadeia
Como e^{2x} = (e^x)^2 = e^x\cdot e^x, a regra do produto também funciona:
Os dois métodos concordam, o que é uma boa conferência.
Gráfico de e^(2x) e de sua derivada
A reta tangente em x = 0 tem inclinação 2 e passa por (0, 1), então é y = 2x + 1.
Derivadas de ordem superior
A cada derivação sai mais um fator 2:
| Derivada | Resultado |
|---|---|
| f'(x) | 2e^{2x} |
| f''(x) | 4e^{2x} |
| f'''(x) | 8e^{2x} |
| f^{(n)}(x) | 2^n e^{2x} |
Esse padrão explica por que y = e^{2x} resolve a equação diferencial y'' = 4y. Ele também explica a derivada primeira sozinha: y' = 2y diz que a função cresce a uma taxa igual ao dobro do seu tamanho atual, que é a regra por trás do crescimento exponencial com constante de taxa 2.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: regra do produto. Para f(x) = xe^{2x},
Como e^{2x} > 0, o único ponto crítico é onde 1 + 2x = 0, em x = -\frac{1}{2}.
Exemplo 2: um expoente deslocado. Para g(x) = e^{2x + 1}, a derivada de dentro continua sendo 2:
Exemplo 3: uma constante multiplicando. Para h(x) = 5e^{2x} - e^{-2x},
O segundo termo troca de sinal porque \frac{d}{dx}(-2x) = -2.
Erros comuns
- Esquecer o 2. \frac{d}{dx}e^{2x} = e^{2x} é o deslize mais comum. Sempre multiplique pela derivada de dentro.
- Descer o expoente como numa potência. 2x\,e^{2x - 1} está errado; a regra da potência não se aplica.
- Escrever 2e^{x}. O expoente não muda. Ele continua sendo 2x.
- Confundir a derivada com a integral. A derivada multiplica por 2; a integral divide por 2.
Para o sentido inverso, veja a integral de e^(2x). Para praticar mais, tente os exercícios de derivadas de funções exponenciais e logarítmicas.
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Regra da cadeia: e e ln
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