Ableitung von e^(2x): Formel, Schritte und Beispiele
Die Ableitung von e^(2x) ist 2e^(2x). Mit den Schritten der Kettenregel, einem zweiten Beweis über (eˣ)², höheren Ableitungen, Graph und Rechenbeispielen.
Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen Aktualisiert 2 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Ableitung
- 2e^{2x}
- Zweite Ableitung
- 4e^{2x}
- n-te Ableitung
- 2^n e^{2x}
- Allgemeine Form
- \dfrac{d}{dx}e^{kx} = ke^{kx}
- Als Integral
- \int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C
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Die Ableitung von e^{2x} ist 2e^{2x}. Die Exponentialfunktion bleibt genau gleich, und die Ableitung des Exponenten, 2, kommt nach vorne.
Schritt für Schritt mit der Kettenregel
Schreibe e^{2x} als äußere Funktion e^u mit der inneren Funktion u = 2x. Die Kettenregel besagt
- Die äußere Ableitung: Die Ableitung von eˣ ist die Funktion selbst, also bleibt e^u als e^{2x} stehen.
- Die innere Ableitung: \frac{d}{dx}(2x) = 2.
- Multiplizieren: e^{2x}\cdot 2 = 2e^{2x}.
Mit denselben Schritten erhältst du die allgemeine Regel \frac{d}{dx}e^{kx} = ke^{kx}. Zum Beispiel ist \frac{d}{dx}e^{5x} = 5e^{5x} und \frac{d}{dx}e^{x/3} = \frac{1}{3}e^{x/3}.
Ein zweiter Beweis ohne Kettenregel
Wegen e^{2x} = (e^x)^2 = e^x\cdot e^x funktioniert auch die Produktregel:
Beide Methoden stimmen überein, eine schöne Probe.
Graph von e^(2x) und seiner Ableitung
Die Tangente bei x = 0 hat die Steigung 2 und verläuft durch (0, 1), sie lautet also y = 2x + 1.
Höhere Ableitungen
Bei jedem Ableiten kommt ein weiterer Faktor 2 heraus:
| Ableitung | Ergebnis |
|---|---|
| f'(x) | 2e^{2x} |
| f''(x) | 4e^{2x} |
| f'''(x) | 8e^{2x} |
| f^{(n)}(x) | 2^n e^{2x} |
Dieses Muster ist der Grund, warum y = e^{2x} die Differentialgleichung y'' = 4y löst. Es erklärt auch die erste Ableitung für sich: y' = 2y bedeutet, dass die Funktion mit einer Rate wächst, die doppelt so groß ist wie ihr aktueller Wert. Das ist das Gesetz hinter exponentiellem Wachstum mit der Wachstumskonstante 2.
Rechenbeispiele
Beispiel 1: Produktregel. Für f(x) = xe^{2x} gilt
Da e^{2x} > 0 ist, liegt der einzige kritische Punkt dort, wo 1 + 2x = 0 gilt, also bei x = -\frac{1}{2}.
Beispiel 2: ein verschobener Exponent. Bei g(x) = e^{2x + 1} ist die innere Ableitung immer noch 2:
Beispiel 3: ein konstanter Faktor. Für h(x) = 5e^{2x} - e^{-2x} gilt
Der zweite Summand wechselt das Vorzeichen, weil \frac{d}{dx}(-2x) = -2 ist.
Typische Fehler
- Die 2 vergessen. \frac{d}{dx}e^{2x} = e^{2x} ist der häufigste Ausrutscher. Multipliziere immer mit der inneren Ableitung.
- Den Exponenten wie bei einer Potenz nach vorne holen. 2x\,e^{2x - 1} ist falsch, die Potenzregel gilt hier nicht.
- 2e^{x} schreiben. Der Exponent ändert sich nicht. Er bleibt 2x.
- Ableitung und Integral verwechseln. Die Ableitung multipliziert mit 2, das Integral teilt durch 2.
Für die Gegenrichtung siehe das Integral von e^(2x). Zum Üben eignen sich die Aufgaben zu Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen.
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