Derivada de sec²x: fórmula, demonstração e exemplos
A derivada de sec²x é 2sec²x tg x. Veja duas demonstrações, uma pela regra da cadeia e outra com 1 + tg²x, além de exemplos como sec²(3x).
Derivadas trigonométricas Atualizado 2 min de leitura
Visão geral
- Derivada
- 2\sec^2 x\tan x para x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi
- Em seno e cosseno
- \dfrac{2\sin x}{\cos^3 x}
- Com a regra da cadeia
- \dfrac{d}{dx}\sec^2 u = 2\sec^2 u\tan u\cdot u'
- Relação com tg x
- \sec^2 x é a derivada de \tan x, então isto é \frac{d^2}{dx^2}\tan x
- Integral de sec²x
- \int \sec^2 x\,dx = \tan x + C
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A derivada de \sec^2 x é 2\sec^2 x\tan x. Leia \sec^2 x como (\sec x)^2 e aplique a regra da cadeia uma vez.
Gráfico de sec²x e de sua derivada
Demonstração 1: regra da cadeia em (sec x)²
A função de fora é o quadrado, a de dentro é \sec x. Usando a regra da cadeia e a derivada de sec x:
Demonstração 2: usando 1 + tg²x
A identidade \sec^2 x = 1 + \tan^2 x dá um segundo caminho. O 1 desaparece, e \tan^2 x é o quadrado de \tan x:
Os dois caminhos concordam, o que é uma boa conferência da identidade.
Demonstração 3: em termos de cos x
\sec^2 x = (\cos x)^{-2}, então
Separe como 2\cdot\frac{1}{\cos^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x} = 2\sec^2 x\tan x.
Por que esta é a derivada segunda de tg x
A derivada de tg x é \sec^2 x. Então derivar \sec^2 x é o mesmo que derivar \tan x duas vezes:
O sinal dessa expressão indica a concavidade de \tan x: concavidade para baixo para -\frac{\pi}{2} < x < 0 e concavidade para cima para 0 < x < \frac{\pi}{2}.
Variações com a regra da cadeia
Exemplo 1. \frac{d}{dx}\sec^2(3x) = 6\sec^2(3x)\tan(3x).
Exemplo 2. \frac{d}{dx}\sec^2(x^2) = 4x\sec^2(x^2)\tan(x^2).
Exemplo 3: um valor. Em x = \frac{\pi}{4}, \sec^2\frac{\pi}{4} = 2 e \tan\frac{\pi}{4} = 1, então a inclinação é 2\cdot 2\cdot 1 = 4.
Exemplo 4: um produto. \frac{d}{dx}(x\sec^2 x) = \sec^2 x + 2x\sec^2 x\tan x.
Onde você vai encontrá-la
A derivada de \sec^2 x aparece com mais frequência em dois lugares. O primeiro é no estudo da concavidade e dos pontos de inflexão de \tan x, já que \sec^2 x é sua derivada primeira. O segundo é na integração, em que reconhecer 2\sec^2 x\tan x como uma derivada permite desfazê-la rapidamente por substituição: fazendo u = \tan x, \int 2\tan x\sec^2 x\,dx vira \int 2u\,du = \tan^2 x + C. Como \tan^2 x e \sec^2 x diferem apenas por 1, essa é a mesma família de primitivas.
Erros comuns
- Parar em 2\sec x. Essa é só a derivada de fora. Multiplique por \sec x\tan x.
- Responder \tan x. \tan x é a integral de \sec^2 x, não sua derivada. Veja a integral de sec²x.
- Tratar \sec^2 x como \sec(x^2). \frac{d}{dx}\sec(x^2) = 2x\sec(x^2)\tan(x^2), que é diferente.
Os quadrados do seno e do cosseno seguem o mesmo padrão: veja a derivada de sen²x e a derivada de cos²x.
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