Derivada de sec²x: fórmula, demostración y ejemplos
La derivada de sec²x es 2sec²x tan x. Dos demostraciones, una con la regla de la cadena y otra con 1 + tan²x, y ejemplos como sec²(3x).
Derivadas trigonométricas Actualizado 2 min de lectura
De un vistazo
- Derivada
- 2\sec^2 x\tan x para x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi
- En función de sen y cos
- \dfrac{2\sin x}{\cos^3 x}
- Con la regla de la cadena
- \dfrac{d}{dx}\sec^2 u = 2\sec^2 u\tan u\cdot u'
- Relación con tan x
- \sec^2 x es la derivada de \tan x, así que esto es \frac{d^2}{dx^2}\tan x
- Integral de sec²x
- \int \sec^2 x\,dx = \tan x + C
En esta página
La derivada de \sec^2 x es 2\sec^2 x\tan x. Lee \sec^2 x como (\sec x)^2 y aplica la regla de la cadena una vez.
Gráfica de sec²x y de su derivada
Demostración 1: regla de la cadena sobre (sec x)²
La función exterior es el cuadrado y la interior es \sec x. Usando la regla de la cadena y la derivada de sec x:
Demostración 2: usando 1 + tan²x
La identidad \sec^2 x = 1 + \tan^2 x ofrece un segundo camino. El 1 desaparece, y \tan^2 x es un cuadrado de \tan x:
Los dos caminos coinciden, lo que es una buena comprobación de la identidad.
Demostración 3: en función de cos x
\sec^2 x = (\cos x)^{-2}, así que
Sepárala como 2\cdot\frac{1}{\cos^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x} = 2\sec^2 x\tan x.
Por qué es la segunda derivada de tan x
La derivada de tan x es \sec^2 x. Así que derivar \sec^2 x es lo mismo que derivar \tan x dos veces:
Su signo te indica la concavidad de \tan x: cóncava hacia abajo para -\frac{\pi}{2} < x < 0 y cóncava hacia arriba para 0 < x < \frac{\pi}{2}.
Variantes con la regla de la cadena
Ejemplo 1. \frac{d}{dx}\sec^2(3x) = 6\sec^2(3x)\tan(3x).
Ejemplo 2. \frac{d}{dx}\sec^2(x^2) = 4x\sec^2(x^2)\tan(x^2).
Ejemplo 3: un valor. En x = \frac{\pi}{4}, \sec^2\frac{\pi}{4} = 2 y \tan\frac{\pi}{4} = 1, así que la pendiente es 2\cdot 2\cdot 1 = 4.
Ejemplo 4: un producto. \frac{d}{dx}(x\sec^2 x) = \sec^2 x + 2x\sec^2 x\tan x.
Dónde te la encontrarás
La derivada de \sec^2 x aparece sobre todo en dos lugares. El primero es al estudiar la concavidad y los puntos de inflexión de \tan x, ya que \sec^2 x es su primera derivada. El segundo es en integración, donde reconocer 2\sec^2 x\tan x como una derivada permite deshacerla rápidamente con un cambio de variable: tomar u = \tan x convierte \int 2\tan x\sec^2 x\,dx en \int 2u\,du = \tan^2 x + C. Como \tan^2 x y \sec^2 x solo difieren en 1, es la misma familia de antiderivadas.
Errores comunes
- Quedarse en 2\sec x. Esa es solo la derivada exterior. Multiplica por \sec x\tan x.
- Responder \tan x. \tan x es la integral de \sec^2 x, no su derivada. Consulta la integral de sec²x.
- Tratar \sec^2 x como \sec(x^2). \frac{d}{dx}\sec(x^2) = 2x\sec(x^2)\tan(x^2), que es distinto.
Los cuadrados del seno y del coseno siguen el mismo patrón: consulta la derivada de sen²x y la derivada de cos²x.
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