Ableitung von sec²x: Formel, Beweis und Beispiele
Die Ableitung von sec²x ist 2sec²x tan x. Mit zwei Beweisen, einem über die Kettenregel und einem über 1 + tan²x, sowie Beispielen wie sec²(3x).
Ableitungen trigonometrischer Funktionen Aktualisiert 2 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Ableitung
- 2\sec^2 x\tan x für x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi
- Mit sin und cos
- \dfrac{2\sin x}{\cos^3 x}
- Mit Kettenregel
- \dfrac{d}{dx}\sec^2 u = 2\sec^2 u\tan u\cdot u'
- Zusammenhang mit tan x
- \sec^2 x ist die Ableitung von \tan x, das hier ist also \frac{d^2}{dx^2}\tan x
- Integral von sec²x
- \int \sec^2 x\,dx = \tan x + C
Auf dieser Seite
Die Ableitung von \sec^2 x ist 2\sec^2 x\tan x. Lies \sec^2 x als (\sec x)^2 und wende dann einmal die Kettenregel an.
Graph von sec²x und seiner Ableitung
Beweis 1: Kettenregel für (sec x)²
Die äußere Funktion ist das Quadrat, die innere ist \sec x. Mit der Kettenregel und der Ableitung von sec x:
Beweis 2: mit 1 + tan²x
Die Identität \sec^2 x = 1 + \tan^2 x bietet einen zweiten Weg. Die 1 fällt weg, und \tan^2 x ist ein Quadrat von \tan x:
Beide Wege stimmen überein, eine gute Probe für die Identität.
Beweis 3: über cos x
Es gilt \sec^2 x = (\cos x)^{-2}, also
Zerlege das als 2\cdot\frac{1}{\cos^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x} = 2\sec^2 x\tan x.
Warum das die zweite Ableitung von tan x ist
Die Ableitung von tan x ist \sec^2 x. \sec^2 x abzuleiten ist also dasselbe, wie \tan x zweimal abzuleiten:
Das Vorzeichen davon verrät dir die Krümmung von \tan x: rechtsgekrümmt für -\frac{\pi}{2} < x < 0 und linksgekrümmt für 0 < x < \frac{\pi}{2}.
Varianten mit der Kettenregel
Beispiel 1. \frac{d}{dx}\sec^2(3x) = 6\sec^2(3x)\tan(3x).
Beispiel 2. \frac{d}{dx}\sec^2(x^2) = 4x\sec^2(x^2)\tan(x^2).
Beispiel 3: ein Wert. Bei x = \frac{\pi}{4} ist \sec^2\frac{\pi}{4} = 2 und \tan\frac{\pi}{4} = 1, die Steigung ist also 2\cdot 2\cdot 1 = 4.
Beispiel 4: ein Produkt. \frac{d}{dx}(x\sec^2 x) = \sec^2 x + 2x\sec^2 x\tan x.
Wo dir das begegnet
Die Ableitung von \sec^2 x taucht vor allem an zwei Stellen auf. Erstens bei der Bestimmung von Krümmung und Wendepunkten von \tan x, denn \sec^2 x ist dessen erste Ableitung. Zweitens beim Integrieren: Erkennst du 2\sec^2 x\tan x als Ableitung, kannst du sie mit der Substitutionsregel schnell rückgängig machen. Mit u = \tan x wird \int 2\tan x\sec^2 x\,dx zu \int 2u\,du = \tan^2 x + C. Da sich \tan^2 x und \sec^2 x nur um 1 unterscheiden, ist das dieselbe Familie von Stammfunktionen.
Typische Fehler
- Bei 2\sec x aufhören. Das ist nur die äußere Ableitung. Multipliziere mit \sec x\tan x.
- \tan x als Antwort. \tan x ist das Integral von \sec^2 x, nicht seine Ableitung. Siehe das Integral von sec²x.
- \sec^2 x wie \sec(x^2) behandeln. \frac{d}{dx}\sec(x^2) = 2x\sec(x^2)\tan(x^2), und das ist etwas anderes.
Quadrate von Sinus und Kosinus folgen demselben Muster: siehe die Ableitung von sin²x und die Ableitung von cos²x.
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