Dérivée de sec²x : formule, démonstration et exemples
La dérivée de sec²x est 2sec²x tan x. Deux démonstrations, l'une par la dérivation en chaîne, l'autre avec 1 + tan²x, et des exemples comme sec²(3x).
Dérivées trigonométriques Mis à jour Lecture : 2 min
En bref
- Dérivée
- 2\sec^2 x\tan x pour x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi
- Avec sin et cos
- \dfrac{2\sin x}{\cos^3 x}
- Forme composée
- \dfrac{d}{dx}\sec^2 u = 2\sec^2 u\tan u\cdot u'
- Lien avec tan x
- \sec^2 x est la dérivée de \tan x, donc ceci est \frac{d^2}{dx^2}\tan x
- Intégrale de sec²x
- \int \sec^2 x\,dx = \tan x + C
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La dérivée de \sec^2 x est 2\sec^2 x\tan x. Lisez \sec^2 x comme (\sec x)^2, puis appliquez une fois la règle de dérivation en chaîne.
Courbe de sec²x et de sa dérivée
Démonstration 1 : dérivation en chaîne sur (sec x)²
La fonction extérieure est le carré, la fonction intérieure est \sec x. Avec la règle de dérivation en chaîne et la dérivée de sec x :
Démonstration 2 : avec 1 + tan²x
L'identité \sec^2 x = 1 + \tan^2 x offre une seconde voie. Le 1 disparaît, et \tan^2 x est le carré de \tan x :
Les deux voies concordent, ce qui est une bonne vérification de l'identité.
Démonstration 3 : avec cos x
\sec^2 x = (\cos x)^{-2}, donc
On le décompose en 2\cdot\frac{1}{\cos^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x} = 2\sec^2 x\tan x.
Pourquoi c'est la dérivée seconde de tan x
La dérivée de tan x est \sec^2 x. Dériver \sec^2 x revient donc à dériver \tan x deux fois :
Son signe indique la convexité de \tan x : concave pour -\frac{\pi}{2} < x < 0 et convexe pour 0 < x < \frac{\pi}{2}.
Variantes composées
Exemple 1. \frac{d}{dx}\sec^2(3x) = 6\sec^2(3x)\tan(3x).
Exemple 2. \frac{d}{dx}\sec^2(x^2) = 4x\sec^2(x^2)\tan(x^2).
Exemple 3 : une valeur. En x = \frac{\pi}{4}, \sec^2\frac{\pi}{4} = 2 et \tan\frac{\pi}{4} = 1, donc la pente vaut 2\cdot 2\cdot 1 = 4.
Exemple 4 : un produit. \frac{d}{dx}(x\sec^2 x) = \sec^2 x + 2x\sec^2 x\tan x.
Où la rencontrer
La dérivée de \sec^2 x apparaît surtout à deux endroits. Le premier est l'étude de la convexité et des points d'inflexion de \tan x, puisque \sec^2 x est sa dérivée première. Le second est l'intégration, où reconnaître 2\sec^2 x\tan x comme une dérivée permet de l'intégrer rapidement par changement de variable : poser u = \tan x transforme \int 2\tan x\sec^2 x\,dx en \int 2u\,du = \tan^2 x + C. Comme \tan^2 x et \sec^2 x ne diffèrent que de 1, c'est la même famille de primitives.
Erreurs fréquentes
- S'arrêter à 2\sec x. Ce n'est que la dérivée extérieure. Multipliez par \sec x\tan x.
- Répondre \tan x. \tan x est l'intégrale de \sec^2 x, pas sa dérivée. Voir l'intégrale de sec²x.
- Confondre \sec^2 x et \sec(x^2). \frac{d}{dx}\sec(x^2) = 2x\sec(x^2)\tan(x^2), ce qui est différent.
Les carrés du sinus et du cosinus suivent le même schéma : voir la dérivée de sin²x et la dérivée de cos²x.
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