Derivada de tg x: fórmula, demonstração e exemplos
A derivada de tg x é sec²x. Veja a demonstração pela regra do quociente, a forma 1 + tg²x, a regra da cadeia para tg(u) e exemplos como tg(4x) e tg²x.
Derivadas trigonométricas Atualizado 2 min de leitura
Visão geral
- Derivada
- \sec^2 x para x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi
- Outras formas
- \dfrac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x
- Com a regra da cadeia
- \dfrac{d}{dx}\tan u = \sec^2 u \cdot u'
- Inclinação em x = 0
- \sec^2 0 = 1
- Versão para integrais
- \int \sec^2 x\,dx = \tan x + C
Nesta página
A derivada de \tan x é \sec^2 x. Você também a verá escrita como \frac{1}{\cos^2 x} ou 1 + \tan^2 x. As três são a mesma função.
Gráfico de tg x e de sua derivada
Como \sec^2 x nunca fica abaixo de 1, a função tangente é sempre crescente entre as assíntotas. Ela nunca tem tangente horizontal.
Demonstração pela regra do quociente
Escreva \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} e use a regra do quociente:
A identidade pitagórica transforma o numerador em 1:
Se, em vez disso, você separar a fração antes de simplificar, obtém \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x. Essa forma é útil quando a resposta deve ser escrita só em termos de \tan x.
A versão com a regra da cadeia: derivada de tg(u)
| Função | Função de dentro u | Derivada |
|---|---|---|
| \tan(4x) | 4x | 4\sec^2(4x) |
| \tan(x^2) | x^2 | 2x\sec^2(x^2) |
| \tan\sqrt{x} | \sqrt{x} | \frac{\sec^2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} |
| \tan(e^x) | e^x | e^x\sec^2(e^x) |
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: uma potência da tangente. \frac{d}{dx}\tan^2 x = 2\tan x\cdot\sec^2 x. Aqui a tangente é a função de dentro e o quadrado é a de fora.
Exemplo 2: um produto. \frac{d}{dx}(x\tan x) = \tan x + x\sec^2 x, pela regra do produto.
Exemplo 3: uma reta tangente. Em x = \frac{\pi}{4}, \tan\frac{\pi}{4} = 1 e a inclinação é \sec^2\frac{\pi}{4} = (\sqrt{2})^2 = 2:
Exemplo 4: derivada segunda. \frac{d}{dx}\sec^2 x = 2\sec^2 x\tan x, calculada na página da derivada de sec²x. Ela é negativa para x < 0 e positiva para x > 0, então \tan x tem um ponto de inflexão na origem.
Como memorizar
A tangente é a inclinação de uma reta que sai da origem com ângulo x. Quando o ângulo se aproxima de um ângulo reto, essa inclinação dispara, e \sec^2 x também. Em x = 0 o gráfico da tangente passa pela origem com um ângulo de 45 graus, o que corresponde a uma derivada igual a 1.
Erros comuns
- Escrever \sec x em vez de \sec^2 x. O quadrado importa. \frac{d}{dx}\sec x = \sec x\tan x, um resultado diferente.
- Escrever \sec^2 x\tan x. Essa é a derivada de \frac{1}{2}\sec^2 x, não de \tan x.
- Aplicar a fórmula em uma assíntota. \tan x e sua derivada não existem em x = \frac{\pi}{2} + k\pi.
Lida de trás para frente, a fórmula dá \int\sec^2 x\,dx = \tan x + C, veja a integral de sec²x. Para \int\tan x\,dx, veja a integral de tg x.
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