Ableitung von tan x: Formel, Beweis und Beispiele
Die Ableitung von tan x ist sec²x = 1/cos²x. Mit Beweis über die Quotientenregel, der Form 1 + tan²x, der Kettenregel für tan(u) und Beispielen wie tan(4x).
Ableitungen trigonometrischer Funktionen Aktualisiert 2 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Ableitung
- \sec^2 x für x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi
- Andere Formen
- \dfrac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x
- Mit Kettenregel
- \dfrac{d}{dx}\tan u = \sec^2 u \cdot u'
- Steigung bei x = 0
- \sec^2 0 = 1
- Als Integral
- \int \sec^2 x\,dx = \tan x + C
Auf dieser Seite
Die Ableitung von \tan x ist \sec^2 x. Du findest sie auch als \frac{1}{\cos^2 x} oder 1 + \tan^2 x geschrieben. Alle drei sind dieselbe Funktion.
Graph von tan x und seiner Ableitung
Weil \sec^2 x nie kleiner als 1 ist, steigt die Tangensfunktion zwischen zwei Asymptoten immer. Sie hat nie eine waagerechte Tangente.
Beweis mit der Quotientenregel
Schreibe \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} und nutze die Quotientenregel:
Der trigonometrische Pythagoras macht aus dem Zähler eine 1:
Teilst du den Bruch stattdessen vor dem Vereinfachen auf, erhältst du \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x. Diese Form ist praktisch, wenn das Ergebnis nur mit \tan x geschrieben werden soll.
Mit der Kettenregel: Ableitung von tan(u)
| Funktion | Innere Funktion u | Ableitung |
|---|---|---|
| \tan(4x) | 4x | 4\sec^2(4x) |
| \tan(x^2) | x^2 | 2x\sec^2(x^2) |
| \tan\sqrt{x} | \sqrt{x} | \frac{\sec^2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} |
| \tan(e^x) | e^x | e^x\sec^2(e^x) |
Rechenbeispiele
Beispiel 1: eine Potenz des Tangens. \frac{d}{dx}\tan^2 x = 2\tan x\cdot\sec^2 x. Hier ist der Tangens die innere Funktion und das Quadrat die äußere.
Beispiel 2: ein Produkt. \frac{d}{dx}(x\tan x) = \tan x + x\sec^2 x, nach der Produktregel.
Beispiel 3: eine Tangente. Bei x = \frac{\pi}{4} ist \tan\frac{\pi}{4} = 1 und die Steigung \sec^2\frac{\pi}{4} = (\sqrt{2})^2 = 2:
Beispiel 4: zweite Ableitung. \frac{d}{dx}\sec^2 x = 2\sec^2 x\tan x, ausgerechnet auf der Seite zur Ableitung von sec²x. Sie ist für x < 0 negativ und für x > 0 positiv, also hat \tan x im Ursprung einen Wendepunkt.
So merkst du es dir
Der Tangens ist die Steigung einer Geraden durch den Ursprung mit dem Winkel x. Nähert sich der Winkel einem rechten Winkel, schießt diese Steigung nach oben, und \sec^2 x ebenso. Bei x = 0 verläuft der Tangensgraph im 45-Grad-Winkel durch den Ursprung, passend zur Ableitung 1.
Typische Fehler
- \sec x statt \sec^2 x schreiben. Das Quadrat ist wichtig. \frac{d}{dx}\sec x = \sec x\tan x ist ein anderes Ergebnis.
- \sec^2 x\tan x schreiben. Das ist die Ableitung von \frac{1}{2}\sec^2 x, nicht von \tan x.
- Die Formel an einer Asymptote anwenden. \tan x und seine Ableitung existieren bei x = \frac{\pi}{2} + k\pi nicht.
Rückwärts gelesen ergibt die Formel \int\sec^2 x\,dx = \tan x + C, siehe das Integral von sec²x. Für \int\tan x\,dx siehe das Integral von tan x.
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