Dérivée de tan x : formule, démonstration et exemples
La dérivée de tan x est sec²x, soit 1 + tan²x. Démonstration par le quotient, version composée pour tan(u) et exemples comme tan(4x) et tan²x.
Dérivées trigonométriques Mis à jour Lecture : 2 min
En bref
- Dérivée
- \sec^2 x pour x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi
- Autres formes
- \dfrac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x
- Forme composée
- \dfrac{d}{dx}\tan u = \sec^2 u \cdot u'
- Pente en x = 0
- \sec^2 0 = 1
- Version intégrale
- \int \sec^2 x\,dx = \tan x + C
Sur cette page
La dérivée de \tan x est \sec^2 x. On la trouve aussi écrite \frac{1}{\cos^2 x} ou 1 + \tan^2 x. Ces trois expressions désignent la même fonction.
Courbe de tan x et de sa dérivée
Comme \sec^2 x n'est jamais inférieur à 1, la fonction tangente est toujours croissante entre ses asymptotes. Elle n'a jamais de tangente horizontale.
Démonstration par la règle du quotient
Écrivons \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} et utilisons la règle du quotient :
La relation de Pythagore transforme le numérateur en 1 :
Si on sépare plutôt la fraction avant de simplifier, on obtient \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x. Cette forme est pratique quand la réponse doit s'écrire uniquement avec \tan x.
La version composée : dérivée de tan(u)
| Fonction | Intérieur u | Dérivée |
|---|---|---|
| \tan(4x) | 4x | 4\sec^2(4x) |
| \tan(x^2) | x^2 | 2x\sec^2(x^2) |
| \tan\sqrt{x} | \sqrt{x} | \frac{\sec^2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} |
| \tan(e^x) | e^x | e^x\sec^2(e^x) |
Exemples corrigés
Exemple 1 : une puissance de tan. \frac{d}{dx}\tan^2 x = 2\tan x\cdot\sec^2 x. Ici, tan est la fonction intérieure et le carré la fonction extérieure.
Exemple 2 : un produit. \frac{d}{dx}(x\tan x) = \tan x + x\sec^2 x, d'après la règle du produit.
Exemple 3 : une tangente. En x = \frac{\pi}{4}, \tan\frac{\pi}{4} = 1 et la pente vaut \sec^2\frac{\pi}{4} = (\sqrt{2})^2 = 2 :
Exemple 4 : dérivée seconde. \frac{d}{dx}\sec^2 x = 2\sec^2 x\tan x, calculée sur la page dérivée de sec²x. Elle est négative pour x < 0 et positive pour x > 0, donc \tan x a un point d'inflexion à l'origine.
Comment la retenir
La tangente est la pente d'une droite issue de l'origine formant un angle x. Quand l'angle s'approche d'un angle droit, cette pente explose, et \sec^2 x aussi. En x = 0, la courbe de la tangente passe par l'origine avec un angle de 45 degrés, ce qui correspond à une dérivée égale à 1.
Erreurs fréquentes
- Écrire \sec x au lieu de \sec^2 x. Le carré compte. \frac{d}{dx}\sec x = \sec x\tan x, un autre résultat.
- Écrire \sec^2 x\tan x. C'est la dérivée de \frac{1}{2}\sec^2 x, pas celle de \tan x.
- Appliquer la formule sur une asymptote. \tan x et sa dérivée n'existent pas en x = \frac{\pi}{2} + k\pi.
Lue à l'envers, la formule donne \int\sec^2 x\,dx = \tan x + C, voir l'intégrale de sec²x. Pour \int\tan x\,dx, voir l'intégrale de tan x.
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