Integral de √x (raiz de x): fórmula, dedução e exemplos

A integral de \sqrt{x} é \dfrac{2}{3}x^{3/2} + C. O truque é escrever a raiz quadrada como potência primeiro.

Gráfico de √x e a área sob ele

A região sombreada cabe dentro de um retângulo de 4 por 2, de área 8. Ela ocupa exatamente dois terços dele, e é daí que vem o \frac{2}{3}.

Dedução, passo a passo

1. Reescreva a raiz: \sqrt{x} = x^{1/2}.
2. Use a regra da potência inversa com n = \frac{1}{2}.
3. Some um ao expoente: \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}.
4. Divida por \frac{3}{2}, ou seja, multiplique por \frac{2}{3}: \frac{2}{3}x^{3/2}.
5. Some C.

Uma segunda dedução: área fatiando na horizontal

Existe um jeito elegante de ver o \frac{2}{3} sem nenhuma regra. A curva y = \sqrt{x} é a mesma que x = y^2 para y \ge 0. Desenhe o retângulo de (0, 0) a (b, \sqrt{b}). A curva o divide em duas partes. A parte entre a curva e o eixo y é a área sob x = y^2 de y = 0 a y = \sqrt{b}, que vale \frac{(\sqrt{b})^3}{3} pela integral de x². O retângulo inteiro mede b\sqrt{b}, então a área sob \sqrt{x} é o que sobra:

Isso confere com a fórmula. Também mostra por que as duas áreas ficam na razão 1 : 2.

Verificação por derivação

A regra no sentido direto está na página da derivada de √x.

Outras raízes e potências de x

O mesmo método funciona para qualquer raiz. Reescreva, depois aumente o expoente e divida:

Variante por substituição: integral de √(ax + b)

Seja u = ax + b, então du = a\,dx:

Por exemplo, \int \sqrt{3x + 2}\,dx = \frac{2}{9}(3x + 2)^{3/2} + C. Verificação: \frac{2}{9}\cdot\frac{3}{2}(3x+2)^{1/2}\cdot 3 = \sqrt{3x + 2}.

Um clássico: \int x\sqrt{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{3}(x^2 + 1)^{3/2} + C, com u = x^2 + 1.

Exemplos de integrais definidas

Exemplo 1. \int_1^9 \sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}\left(9^{3/2} - 1^{3/2}\right) = \frac{2}{3}(27 - 1) = \frac{52}{3}.

Exemplo 2. \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \Big[2\sqrt{x}\Big]_0^1 = 2. Essa é uma integral imprópria, porque \frac{1}{\sqrt{x}} explode em 0, mas a área ainda é finita.

Exemplo 3. \int_0^4 (\sqrt{x} - 1)\,dx = \frac{16}{3} - 4 = \frac{4}{3}.

Erros comuns

1. Aplicar a regra da potência direto no símbolo de raiz. Escreva x^{1/2} primeiro.
2. Dividir por \frac{1}{2} em vez de \frac{3}{2}. Divide-se pelo novo expoente, e não pelo antigo.
3. Escrever \frac{3}{2}x^{3/2}. Dividir por \frac{3}{2} dá \frac{2}{3}, e não \frac{3}{2}.
4. Integrar \sqrt{x^2 + 1} como se fosse \sqrt{x}. Com uma expressão não linear dentro e sem fator correspondente, a substituição não funciona. Essa integral precisa de substituição trigonométrica.

Pratique com os exercícios de primitivas.