Intégrale de √x : formule, démonstration et exemples

L'intégrale de \sqrt{x} est \dfrac{2}{3}x^{3/2} + C. L'astuce consiste à écrire d'abord la racine carrée comme une puissance.

Graphique de √x et de l'aire sous la courbe

La région hachurée tient dans un rectangle de 4 sur 2, d'aire 8. Elle en remplit exactement les deux tiers, et c'est de là que vient le \frac{2}{3}.

Démonstration pas à pas

1. Réécrire la racine : \sqrt{x} = x^{1/2}.
2. Appliquer la règle de la puissance inverse avec n = \frac{1}{2}.
3. Ajouter un à l'exposant : \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}.
4. Diviser par \frac{3}{2}, c'est-à-dire multiplier par \frac{2}{3} : \frac{2}{3}x^{3/2}.
5. Ajouter C.

Une seconde démonstration : l'aire par tranches horizontales

Il existe une jolie façon de voir le \frac{2}{3} sans aucune règle. La courbe y = \sqrt{x} est la même que x = y^2 pour y \ge 0. Tracez le rectangle de (0, 0) à (b, \sqrt{b}). La courbe le coupe en deux. La partie entre la courbe et l'axe des y est l'aire sous x = y^2 de y = 0 à y = \sqrt{b}, qui vaut \frac{(\sqrt{b})^3}{3} d'après l'intégrale de x². Le rectangle entier vaut b\sqrt{b}, donc l'aire sous \sqrt{x} est ce qui reste :

Cela correspond à la formule. On voit aussi pourquoi les deux aires sont dans le rapport 1 : 2.

Vérification par dérivation

La règle dans le sens direct se trouve sur la page dérivée de √x.

Autres racines et puissances de x

La même méthode fonctionne pour toute racine. On réécrit, puis on augmente l'exposant et on divise :

Variante par changement de variable : intégrale de √(ax + b)

Posons u = ax + b, donc du = a\,dx :

Par exemple, \int \sqrt{3x + 2}\,dx = \frac{2}{9}(3x + 2)^{3/2} + C. Vérification : \frac{2}{9}\cdot\frac{3}{2}(3x+2)^{1/2}\cdot 3 = \sqrt{3x + 2}.

Un classique : \int x\sqrt{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{3}(x^2 + 1)^{3/2} + C, avec u = x^2 + 1.

Exemples d'intégrales définies

Exemple 1. \int_1^9 \sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}\left(9^{3/2} - 1^{3/2}\right) = \frac{2}{3}(27 - 1) = \frac{52}{3}.

Exemple 2. \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \Big[2\sqrt{x}\Big]_0^1 = 2. C'est une intégrale impropre, car \frac{1}{\sqrt{x}} tend vers l'infini en 0, mais l'aire reste finie.

Exemple 3. \int_0^4 (\sqrt{x} - 1)\,dx = \frac{16}{3} - 4 = \frac{4}{3}.

Erreurs fréquentes

1. Appliquer la règle de la puissance directement au symbole racine. Écrivez d'abord x^{1/2}.
2. Diviser par \frac{1}{2} au lieu de \frac{3}{2}. On divise par le nouvel exposant, pas par l'ancien.
3. Écrire \frac{3}{2}x^{3/2}. Diviser par \frac{3}{2} donne \frac{2}{3}, pas \frac{3}{2}.
4. Intégrer \sqrt{x^2 + 1} comme \sqrt{x}. Avec une expression intérieure non affine et sans facteur correspondant, le changement de variable simple échoue. Cette intégrale demande un changement de variable trigonométrique.

Entraînez-vous avec les exercices sur les primitives.